Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa o funkcji gęstości
f(x) = c(x-1) ^{2} dla x[in]
f(x) = 0 dla reszty
• Wyznaczyć stała c.
• Wyznaczyć dystrybuantę tego rozkładu.
liczyłam całkę (ale jak widac całki to moja zmora ;() i wyszło mi c= 3/26 co jest smieszne ... a i tak nie moge sobie poradzic z dystrybuantą ... proszę pomożcie ... temat wczesniej .. wg tego co napisaliscie narysowałam wykresy i obliczyłam prawdopodobienstwo , prosze o pomoc równeiz w tym dzieki z góry
Funkcja gęstości i dystrybuanta
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 16 lip 2008, o 12:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Pobiedziska
Funkcja gęstości i dystrybuanta
Ostatnio zmieniony 20 lip 2008, o 00:48 przez natalek88, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Funkcja gęstości i dystrybuanta
Mamy \(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}f(x)dx=\int_0^2f(x)dx=1}\), więc \(\displaystyle{ \int_0^2c(x-1)^2dx=1}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ \frac{c}{3}(2-1)^3-\frac{c}{3}(0-1)^3=1}\), więc \(\displaystyle{ c=\frac{3}{2}}\).
Następnie wyznaczmy dystrybuantę F danej zmiennej losowej.
Mamy \(\displaystyle{ F(t)=\int_{-\infty}^tf(x)dx}\) dla \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ F(t)=0}\) dla \(\displaystyle{ t\in(-\infty,0]}\) oraz \(\displaystyle{ F(t)=1}\) dla \(\displaystyle{ t\in(2,+\infty)}\).
Dla \(\displaystyle{ t\in(0,2]}\) mamy natomiast
\(\displaystyle{ F(t)=\int_0^tf(x)dx=\int_0^t\frac{3}{2}(x-1)^2dx=\frac{1}{2}(t-1)^3-\frac{1}{2}(0-1)^3=\frac{1}{2}[(t-1)^3+1]}\). Reasumując, mamy
Następnie wyznaczmy dystrybuantę F danej zmiennej losowej.
Mamy \(\displaystyle{ F(t)=\int_{-\infty}^tf(x)dx}\) dla \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ F(t)=0}\) dla \(\displaystyle{ t\in(-\infty,0]}\) oraz \(\displaystyle{ F(t)=1}\) dla \(\displaystyle{ t\in(2,+\infty)}\).
Dla \(\displaystyle{ t\in(0,2]}\) mamy natomiast
\(\displaystyle{ F(t)=\int_0^tf(x)dx=\int_0^t\frac{3}{2}(x-1)^2dx=\frac{1}{2}(t-1)^3-\frac{1}{2}(0-1)^3=\frac{1}{2}[(t-1)^3+1]}\). Reasumując, mamy
\(\displaystyle{ F(t)=\begin{cases} 0\ dla\ t\in(-\infty,0] \\ \frac{1}{2}[(t-1)^3+1]\ dla\ t\in(0,2] \\ 1\ dla\ t\in(2,+\infty) \end{cases}}\).