Funkcja gęstości i dystrybuanta

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
natalek88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 16 lip 2008, o 12:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pobiedziska

Funkcja gęstości i dystrybuanta

Post autor: natalek88 »

Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa o funkcji gęstości

f(x) = c(x-1) ^{2} dla x[in]
f(x) = 0 dla reszty

• Wyznaczyć stała c.
• Wyznaczyć dystrybuantę tego rozkładu.



liczyłam całkę (ale jak widac całki to moja zmora ;() i wyszło mi c= 3/26 co jest smieszne ... a i tak nie moge sobie poradzic z dystrybuantą ... proszę pomożcie ... temat wczesniej .. wg tego co napisaliscie narysowałam wykresy i obliczyłam prawdopodobienstwo , prosze o pomoc równeiz w tym dzieki z góry
Ostatnio zmieniony 20 lip 2008, o 00:48 przez natalek88, łącznie zmieniany 1 raz.
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Funkcja gęstości i dystrybuanta

Post autor: lukasz1804 »

Mamy \(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}f(x)dx=\int_0^2f(x)dx=1}\), więc \(\displaystyle{ \int_0^2c(x-1)^2dx=1}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ \frac{c}{3}(2-1)^3-\frac{c}{3}(0-1)^3=1}\), więc \(\displaystyle{ c=\frac{3}{2}}\).

Następnie wyznaczmy dystrybuantę F danej zmiennej losowej.
Mamy \(\displaystyle{ F(t)=\int_{-\infty}^tf(x)dx}\) dla \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ F(t)=0}\) dla \(\displaystyle{ t\in(-\infty,0]}\) oraz \(\displaystyle{ F(t)=1}\) dla \(\displaystyle{ t\in(2,+\infty)}\).
Dla \(\displaystyle{ t\in(0,2]}\) mamy natomiast
\(\displaystyle{ F(t)=\int_0^tf(x)dx=\int_0^t\frac{3}{2}(x-1)^2dx=\frac{1}{2}(t-1)^3-\frac{1}{2}(0-1)^3=\frac{1}{2}[(t-1)^3+1]}\). Reasumując, mamy
\(\displaystyle{ F(t)=\begin{cases} 0\ dla\ t\in(-\infty,0] \\ \frac{1}{2}[(t-1)^3+1]\ dla\ t\in(0,2] \\ 1\ dla\ t\in(2,+\infty) \end{cases}}\).
ODPOWIEDZ