Witam serdecznie
Mógłby mi ktoś pomóc w wyprowadzeniu tego wzoru, bo szukam ale nie mogę nigdzie znaleźć właściwego uzsadnienia:
Znając rozkład normalny i gamma (podane na tablicy) wyprowadź chi^2.
Z góry dziękuje i pozdrawiam.
Chi 2 - wyprowadzenie wzoru
-
sigma_algebra1
- Użytkownik
- Posty: 384
- Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 92 razy
Chi 2 - wyprowadzenie wzoru
rozkład chi-kwadrat (n) to rozkład sumy n kwadratów niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie N(0,1), znając funkcję gęstości rozkładu normalnego, łatwo pokażesz, że:
\(\displaystyle{ f_{X^2}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}x^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{x}{2}}I_{(0, ) }(x)}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}}\)
zmienna X^2 ma rozkład gamma \(\displaystyle{ G(\frac{1}{2},\frac{1}{2})}\)
Korzystając z addytywności rozkładu gamma suma zmiennych losowych o rozkładzie
\(\displaystyle{ G(\frac{1}{2},\frac{1}{2})}\) ma rozkład \(\displaystyle{ G(\frac{1}{2},\frac{1}{2}n)}\) czyli chi kwadrat(n)
\(\displaystyle{ f_{X^2}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}x^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{x}{2}}I_{(0, ) }(x)}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}}\)
zmienna X^2 ma rozkład gamma \(\displaystyle{ G(\frac{1}{2},\frac{1}{2})}\)
Korzystając z addytywności rozkładu gamma suma zmiennych losowych o rozkładzie
\(\displaystyle{ G(\frac{1}{2},\frac{1}{2})}\) ma rozkład \(\displaystyle{ G(\frac{1}{2},\frac{1}{2}n)}\) czyli chi kwadrat(n)