Rozkład funkcji zmiennych losowych

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
bartm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 1 mar 2008, o 19:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 1 raz

Rozkład funkcji zmiennych losowych

Post autor: bartm »

Kolejny typ zadania, z którym mam problem i nie wiem, jak się za nie wziąć:

Niech \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\). Znaleźć rozkład \(\displaystyle{ Z=X/Y}\).

Czy ktoś wie, jak to zrobić?

[ Dodano: 13 Czerwca 2008, 20:04 ]
Wydaje mi się, że znalazłem rozwiązanie. Prawie

Mam wektor losowy \(\displaystyle{ W=(X,Y)}\).

Gęstość tego wektora to \(\displaystyle{ g_{W}(t_{1},t_{2}) = g_{X}(t_{1}) g_{Y}(t_{2})}\), ponieważ \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne.

Szukam gęstości \(\displaystyle{ Z=X/Y}\). Niech \(\displaystyle{ \phi \colon \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}}\) takie, że \(\displaystyle{ \phi(x,y)=(x/y,x)}\).

Szukam przekształcenia odwrotnego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} s_{1}/s_{2} = t_{1} \\ s_{1}=t_{2} \end{cases} \begin{cases} s_{1} = t_{2} \\ s_{2}=t_{2}/t_{1} \end{cases}}\)

Czyli \(\displaystyle{ |J\phi^{-1}(t_{1},t_{2})| = t_{2}/t_{1}^{2}}\)

Zatem \(\displaystyle{ g_{(X/Y,X)}(t_{1},t_{2})=g_{(X.Y)}(\phi^{-1}(t_{1},t_{2}))|J\phi^{-1}(t_{1},t_{2})|=g_{X}(t_{2}) g_{Y}(t_{2}/t_{1}) t_{2}/t_{1}^{2}.}\).

Żeby dostać \(\displaystyle{ g_{X/Y}}\) trzeba scałkować po \(\displaystyle{ t_{2}}\) \(\displaystyle{ g_{(X/Y,X)}}\):

\(\displaystyle{ g_{X/Y}= t_{-\infty}^{\infty} g_{X}(t_{2}) g_{Y}(t_{2}/t_{1}) t_{2}/t_{1}^{2} \mbox{d}t_{2} = t_{-\infty}^{\infty} \matfrak{1}_{[0,1]}(t_{2}) \matfrak{1}_{[0,1]}(t_{2}/t_{1}) t_{2}/t_{1}^{2} \mbox{d}t_{2} = t_{0}^{1}\matfrak{1}_{[0,1]}(t_{2}/t_{1}) t_{2}/t_{1}^{2} \mbox{d}t_{2}}\)

No i tu takie głupie pytanie. Czy ta funkcja charakterystyczna ma jakiekolwiek znaczenie, czy mogę ją pominąć, tzn. napisać
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}t_{2}/t_{1}^{2} \mbox{d}t_{2}}\) i rozwiązać całkę?

[ Dodano: 14 Czerwca 2008, 09:38 ]
Popytałem trochę w dziale Rachunku całkowego i już wiem, że nie mogę tak zrobić. Dalej będzie:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\matfrak{1}_{[0,1]}(t_{2}/t_{1}) t_{2}/t_{1}^{2} \mbox{d}t_{2}= t_{0}^{1}\matfrak{1}_{[0,t_{1}]}(t_{2}) t_{2}/t_{1}^{2} \mbox{d}t_{2}=1/t_{1}^{2} t_{0}^{1}\matfrak{1}_{[0,t_{1}]}(t_{2}) t_{2} \mbox{d}t_{2}}\)

Dalej się rozpatruje przypadki w zależności od \(\displaystyle{ t_{2}}\):

\(\displaystyle{ 1/t_{1}^{2} t_{0}^{1}\matfrak{1}_{[0,t_{1}]}(t_{2}) t_{2} \mbox{d}t_{2}
= \begin{cases} 1/t_{1}^{2} t_{1}^{2}/2 \quad dla\quad t_{1}\in (0,1] \\ 1/t_{1}^{2} 1/2 \quad dla \quad t_{1} (1,+\infty) \end{cases} = \begin{cases} 1/2 \quad dla\quad t_{1}\in (0,1] \\ 1/2t_{1}^{2}\quad dla \quad t_{1} (1,+\infty) \end{cases}}\)


Czy moje rozwiązanie jest poprawne?
Ostatnio zmieniony 15 cze 2008, o 15:10 przez bartm, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Rozkład funkcji zmiennych losowych

Post autor: Emiel Regis »

Uff, przeczytalem to wszystko. Ładnie to rozwiązujesz.

Na początek parę uwag:
1. Nie pisz jako mnożenia gwiazdki bo oznacza ona splot, który w rachunku prawd. jest często używany i może to budzić wątpliwosci.
2. Tutaj nasze zmienne są dodatnie jednak w ogolnosci pod całkę zawsze wstawiasz moduł z jakobianu. Warto o tym pamiętać.

No i co do samego rozwiązania to wyglada na dobre, idea jest łatwa - chodzi o zrobienie zamiany zmiennych, jednak jak widać trochę gorzej analitycznie to zrobić ale jak już ogarnąłeś funkcje charakterystyczne to idzie. Ja zawsze w takim przypadku robię rysunek i z niego odczytuję jak jaka zmienna chodzi.
Zawsze jak szukasz gęstosci to żeby się upewnić czy wynik w ogole jest gęstością to zobacz czy się całkuje do 1. U nas tak jest więc to kolejny dowód że się nie pomyliłeś.
bartm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 1 mar 2008, o 19:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 1 raz

Rozkład funkcji zmiennych losowych

Post autor: bartm »

Już poprawiłem oznaczenie mnożenia. Moduł z jakobianu wziąłem pod uwagę, ale faktycznie powinienem był napisać \(\displaystyle{ |J\phi^{-1}(t_{1},t_{2})| = |t_{2}/t_{1}^{2}|}\) i dopiero wtedy sprawdzić, czy te zmienne są dodatnie. Dobrze, że to rozkład na \(\displaystyle{ [0,1]}\)

Dzięki za sprawdzenie.
RDA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 16 mar 2009, o 21:52
Płeć: Mężczyzna

Rozkład funkcji zmiennych losowych

Post autor: RDA »

W jaki sposób dobieramy takie przekształcenie \(\displaystyle{ \phi}\)? Dlaczego nie może być np.
\(\displaystyle{ \phi(x,y)=\displaymath(\frac{x}{y},y)}\) ?
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Rozkład funkcji zmiennych losowych

Post autor: Emiel Regis »

Może być. Dobierasz dowolnie tak żeby ładnie Ci sie pozniej wycałkowała jedna zmienna, a pozostała gestosc tego co nas interesuje.
ODPOWIEDZ