Splot dwóch zmiennych losowych

[bartm]

\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi. \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem 1, a \(\displaystyle{ Y}\) rozkład dwupunktowy \(\displaystyle{ (0,1/2)}\), \(\displaystyle{ (1,1/2)}\). Podać rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X+Y}\).

Generalnie wiem, o co chodzi, ale jakoś nie mogę dojść do rozwiązania. Jeśli mam dwie dystrybuanty, to muszę je spleść i będę mieć z tego dystrybuantę sumy tych rozkładów? W książce mam podany taki wzór: \(\displaystyle{ H(z)= t_{-\infty}^{\infty}F(z-x) \mbox{d}G(x)}\). Co mam zrobić z tym \(\displaystyle{ \mbox{d}G(x)}\)?

Ogólnie \(\displaystyle{ F_{X}(t)=1-e^{-1}}\) oraz \(\displaystyle{ F_{Y}(t)= egin{cases} 0 : tt_{-\infty}^{\infty}(1-e^{x-z}) \mbox{d}F_{Y}(x)}\). Co dalej? Podstawienie?

Bardzo proszę o wskazówkę.

[abrasax]

może tak:
\(\displaystyle{ H(z)= t_{-\infty}^{\infty}F(z-x) \mbox{d}G(x) = t_{-\infty}^{\infty}F(z-x) g(x)dx}\)

[bartm]

A \(\displaystyle{ g(x)}\) to gęstość czego? \(\displaystyle{ Y}\) jest zmienną dyskretną, więc nie ma gęstości, natomiast jeśli uznamy, że jest to gęstość zmiennej \(\displaystyle{ X}\), to w tym wzorze w ogóle nie będzie odniesienia do \(\displaystyle{ Y}\).

[abrasax]

Racja, zmienna dyskretna. Proponuję tak:
\(\displaystyle{ f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(z-x)dF_Y(x)= \\ = f_X(z-0)P(Y=0)+f_X(z-1)P(Y=1)= f_X(z-0)\frac{1}{2}+f_X(z-1)\frac{1}{2}}\)

[bartm]

Wygląda logicznie. Ciągnąc dalej to rozumowanie mam:

\(\displaystyle{ =1/2*(f_{X}(z)+f_{X}(z-1))=1/2*(1-e^{-z}+1-e^{1-z})=1-1/2*e^{-z}*(1+e)}\).

Czy tak jest OK?

[abrasax]

wygląda dobrze, można wziąć f albo F

[bartm]

Dziękuję za pomoc.

[Emiel Regis]

No dobrze, tylko jak tutaj chodzi zmienna z?
Bo jeśli chodzi tak jak po cichu założyliście to ta funkcja jest niebezpiecznie ujemna...

Z tym że piszesz o gęstości a wstawiasz dystrybuantę to rozumiem przeoczenie.