Wartość oczekiwana w rozkładzie Poissona
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 21 kwie 2008, o 18:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Śląsk
- Podziękował: 1 raz
Wartość oczekiwana w rozkładzie Poissona
O ile wiem, wartością oczekiwaną rozkładu poissona jest stała ( lambda ), jak należy do tego dojść? Oczywiście wychodzę ze wzoru na EX dla zmiennej dyskretnej ( suma iloczynu zmienna*prawdopodobieństwo)
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Wartość oczekiwana w rozkładzie Poissona
Czyli musisz policzyć sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^{k}}{k!} e^{-\lambda} = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!}}\)
A teraz przypomnij sobie rozwinięcie funkcji \(\displaystyle{ e^{x}}\) w szereg Maclaurina
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^{k}}{k!} e^{-\lambda} = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!}}\)
A teraz przypomnij sobie rozwinięcie funkcji \(\displaystyle{ e^{x}}\) w szereg Maclaurina