Dla wytrwałych - odpowiedzi mile widziane zmienne dyskretne

[swirus9]

Zmienne losowe dyskretne
Program ćwiczeń obejmuje następujące zadania:
1. Drużyna piłkarska ma rozegrać dwa mecze. Prawdopodobieństwa ich nie przegrania
wynoszą odpowiednio 0.4 i 0.6. Jeżeli drużyna nie przegrywa danego meczu, ma 50%
szans na wygraną i 50 % szans na remis, niezależnie od innych wydarzeń. Drużyna
otrzymuje 2 punkty za wygraną, 1 za remis i 0 za przegraną. Niech X będzie sumą
zdobytych punktów. Znaleźć rozkład X.
2. Załóżmy, że idziesz na przyjęcie, na którym jest 500 gości (włącznie z Tobą). Jakie
jest prawdopodobieństwo, że dokładnie jeden inny gość ma urodziny tego samego dnia
roku, co Ty? Oblicz tę wartość dokładnie i w sposób przybliżony – z zastosowaniem
rozkładu Poissona (założyć, że rok nie jest przestępny).
3. Nałogowy palacz nosi jedno pudełko zapałek w prawej kieszeni i jedno w lewej. Za
każdym razem gdy chce zapalić, wybiera losowo pudełko (z prawdopodobieństwem
1/2) niezależnie od innych wyborów. Początkowo obydwa pudełka mają po N zapałek.
Jaki jest rozkład prawdopodobieństwa liczby pozostających zapałek w momencie, gdy
palacz sięga po pudełko i stwierdza, że jest puste?
4. Niech X – zmienna losowa o rozkładzie Bernoulliego z parametrami n i p. Pokazać, że
skoki można wyznaczać z poniższych wzorów rekurencyjnych:
pX(0) = (1 − p)n, pX(k + 1) =
p
1 − p
n − k
k + 1
pX(k), k= 0, 1, . . . , n − 1.
5. Niech X – zmienna losowa o rozkładzie Poissona z parametrem λ. Pokazać, że skoki
pX(k) wzrastają monotonicznie wraz z k aż do punktu, w którym k osiąga największą
wartość całkowitą nie przekraczającą λ, a potem monotonicznie maleją.
6. Rozważmy rozkład Bernoulliego z parametrami n i p. Pokazać, że dla n→∞ i p → 0
oraz λ = np zbiega on do rozkładu Poissona z parametrem λ.
Wskazówka:
pX(k) =
n!
(n − k)!k!
pk(1 − p)n−k =
n(n − 1) � � � (n − k + 1)
nk
λk
k! 1 −
λ
nn−k
.
1
7. Niech X – zmienna losowa przybierająca wartości całkowite od 0 do 9 włącznie, z
jednakowymi prawdopodobieństwami 1/10.
(a) Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y = X mod 3.
(b) Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Z = 5 mod (X + 1).
8. Rozważmy zmienną losową X o rozkładzie
⎧⎨
⎩
x2/a, x = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3,
0, w przeciwnym razie.
(a) Określić a i E[X].
(b) Jaki jest rozkład zmiennej Z = (X − E[X]))2? Obliczyć var(X).
9. W kampanii reklamowej fabryka czekolady umieszcza w batonach złote bilety oznaczające
wygraną wycieczkę. Prawdopodobieństwo znalezienia takiego biletu wynosi p.
Określić wartość oczekiwaną i wariancję liczby batonów, które należy kupić aby zdobyć
wygraną.
10. Rozważmy następującą grę: rzucasz monetą do pierwszego pojawienia się orła. Jeżeli
orzeł pojawi się w n-tym rzucie, otrzymujesz 2n zł. Jaka jest oczekiwana wygrana? Ile
zapłaciłbyś, aby zagrać w tę grę?
11. Rozważmy zmienną losową X o rozkładzie Poissona z parametrem λ. Obliczyć jej drugi
moment (czyli E[X2]) i wariancję.
2Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Metody probabilistyczne – ćwiczenia
Zmienne losowe dyskretne
Program ćwiczeń obejmuje następujące zadania:
1. Drużyna piłkarska ma rozegrać dwa mecze. Prawdopodobieństwa ich nie przegrania
wynoszą odpowiednio 0.4 i 0.6. Jeżeli drużyna nie przegrywa danego meczu, ma 50%
szans na wygraną i 50 % szans na remis, niezależnie od innych wydarzeń. Drużyna
otrzymuje 2 punkty za wygraną, 1 za remis i 0 za przegraną. Niech X będzie sumą
zdobytych punktów. Znaleźć rozkład X.
2. Załóżmy, że idziesz na przyjęcie, na którym jest 500 gości (włącznie z Tobą). Jakie
jest prawdopodobieństwo, że dokładnie jeden inny gość ma urodziny tego samego dnia
roku, co Ty? Oblicz tę wartość dokładnie i w sposób przybliżony – z zastosowaniem
rozkładu Poissona (założyć, że rok nie jest przestępny).
3. Nałogowy palacz nosi jedno pudełko zapałek w prawej kieszeni i jedno w lewej. Za
każdym razem gdy chce zapalić, wybiera losowo pudełko (z prawdopodobieństwem
1/2) niezależnie od innych wyborów. Początkowo obydwa pudełka mają po N zapałek.
Jaki jest rozkład prawdopodobieństwa liczby pozostających zapałek w momencie, gdy
palacz sięga po pudełko i stwierdza, że jest puste?
4. Niech X – zmienna losowa o rozkładzie Bernoulliego z parametrami n i p. Pokazać, że
skoki można wyznaczać z poniższych wzorów rekurencyjnych:
pX(0) = (1 − p)n, pX(k + 1) =
p
1 − p
n − k
k + 1
pX(k), k= 0, 1, . . . , n − 1.
5. Niech X – zmienna losowa o rozkładzie Poissona z parametrem λ. Pokazać, że skoki
pX(k) wzrastają monotonicznie wraz z k aż do punktu, w którym k osiąga największą
wartość całkowitą nie przekraczającą λ, a potem monotonicznie maleją.
6. Rozważmy rozkład Bernoulliego z parametrami n i p. Pokazać, że dla n→∞ i p → 0
oraz λ = np zbiega on do rozkładu Poissona z parametrem λ.
Wskazówka:
pX(k) =
n!
(n − k)!k!
pk(1 − p)n−k =
n(n − 1) � � � (n − k + 1)
nk
λk
k! 1 −
λ
nn−k
.
1
7. Niech X – zmienna losowa przybierająca wartości całkowite od 0 do 9 włącznie, z
jednakowymi prawdopodobieństwami 1/10.
(a) Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y = X mod 3.
(b) Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Z = 5 mod (X + 1).
8. Rozważmy zmienną losową X o rozkładzie
⎧⎨
⎩
x2/a, x = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3,
0, w przeciwnym razie.
(a) Określić a i E[X].
(b) Jaki jest rozkład zmiennej Z = (X − E[X]))2? Obliczyć var(X).
9. W kampanii reklamowej fabryka czekolady umieszcza w batonach złote bilety oznaczające
wygraną wycieczkę. Prawdopodobieństwo znalezienia takiego biletu wynosi p.
Określić wartość oczekiwaną i wariancję liczby batonów, które należy kupić aby zdobyć
wygraną.
10. Rozważmy następującą grę: rzucasz monetą do pierwszego pojawienia się orła. Jeżeli
orzeł pojawi się w n-tym rzucie, otrzymujesz 2n zł. Jaka jest oczekiwana wygrana? Ile
zapłaciłbyś, aby zagrać w tę grę?
11. Rozważmy zmienną losową X o rozkładzie Poissona z parametrem λ. Obliczyć jej drugi
moment (czyli E[X2]) i wariancję.

wiecie może jak to się robi i od czego zacząć?P