Robert ćwiczy rzuty karne

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
kornelial
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 29 lut 2008, o 22:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: poznan
Podziękował: 6 razy

Robert ćwiczy rzuty karne

Post autor: kornelial »

Robert ćwiczy rzuty karne. Trafia do bramki z prawdopodobieństwem p=0,4
a) Jak duże jest prawdopodobieństwo, że na osiem rzutów trafi dokładnie trzy?
b) Jak duże jest prawdopodobieństwo, ze na osiem rzutów trafi przynajmniej trzy?
c) Jak duże jest prawdopodobieństwo, ze padnie pierwsza bramka w czwartym strzale?
d) Po ilu strzałach prawdopodobieństwo, ze padnie jedna bramka jest 99,9%
e) Ile potrzeba średnio prób, żeby strzelic bramkę?
f) Robert i jego kolega Tomek strzelają naprzemian. Rozpoczyna Robert. Zwyciezcą jest ten, który pierwszy trafi bramkę.
Prawdopodobieństwo trafienia Roberta \(\displaystyle{ P^{R}}\)
Prawdopodobieństwo trafienia Tomka \(\displaystyle{ P^{T}}\)
Z jakim prawdopodobieństwem zwycieży Robert, jeżeli można założyć, że gra trwa nieskończenie długo.

[ Dodano: 4 Czerwca 2008, 21:32 ]
Przepraszam nie napisalam, czy ktos moglby pomoc mi w rozwiazaniu tego zadania?
Z gory dziekuje
Awatar użytkownika
Wicio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1318
Rejestracja: 13 maja 2008, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 561 razy

Robert ćwiczy rzuty karne

Post autor: Wicio »

a)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{2}{5} \frac{2}{5} \frac{2}{5} \frac{3}{5} \frac{3}{5} \frac{3}{5} \frac{3}{5} \frac{3}{5}}\)
Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

Robert ćwiczy rzuty karne

Post autor: Dumel »

słaby strzelec z tego Roberta
b)\(\displaystyle{ P= 1-P'=1-(\frac{3}{5})^6}\)
c)\(\displaystyle{ P= \frac{3}{5} * \frac{3}{5} * \frac{3}{5} * \frac{2}{5}}\)
d)rozumiem że ma być "przynajmniej jedna bramka"- mamy równanie
\(\displaystyle{ P=1-P'=1-( \frac{3}{5})^n qslant 0,999}\)
Awatar użytkownika
Janek Kos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 417
Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 98 razy

Robert ćwiczy rzuty karne

Post autor: Janek Kos »

Jak dla mnie to podpunkt a i b są źle rozwiązane. Powinno być:

a) \(\displaystyle{ p={8\choose 3}0.4^3\cdot 0.6^5=0.2787}\)

b) \(\displaystyle{ p=1-{8\choose 0}0.4^0\cdot 0.6^8-{8\choose 1}0.4^1\cdot 0.6^7-{8\choose 2}0.4^2\cdot 0.6^6=0.6846}\)

Jeśli zaś idzie o e, to moim zdaniem mamy tu rozkład geometryczny tj. zmienną losową, która opisuje czas oczekiwania na pierwszy sukces w ciągu niezależnych prób Bernoulliego.

\(\displaystyle{ P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\ \ \ \ k=1,2,3...}\)

Dla tego rozkładu:

\(\displaystyle{ EX=\frac{1}{p}\ \ \ \ \ \ EX=\frac{1}{0.4}=\frac{10}{4}}\)

[ Dodano: 5 Czerwca 2008, 17:26 ]
Co do ostatniego punktu, to najlepiej to sobie rozpisać:

Napisze prawdopodobieństwa tego, że mecz się skończy po pierwszej, drugiej albo trzeciej kolejce:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline Kolejka & Robert & Tomek\\ \hline 1 & p_R & (1-p_R)p_T\\ \hline 2 & (1-p_R)(1-p_T)p_R & (1-p_R)(1-p_T)(1-p_R)p_T\\ \hline 3 & (1-p_R)(1-p_T)(1-p_R)(1-p_T)p_R & (1-p_R)(1-p_T)(1-p_R)(1-p_T)p_T\\ \hline \end{tabular}}\)

itd...

Można teraz policzyć prawdopodobieństwo zwycięstwa dla poszczególnych graczy:

\(\displaystyle{ P_R=p_R+(1-p_R)(1-p_T)p_R+(1-p_R)(1-p_T)(1-p_R)(1-p_T)p_R+...=p_R \sum_{i=1}^{\infty}q_{RT}^{i-1}\ \ \ gdzie\ \ \ q_{RT}= (1-p_R)(1-p_T)}\)

To już jest suma nieskończonego szeregu geometrycznego, wystarczy podstawić do wzoru i znamy prawdopodobieństwo zwycięstwa Roberta. Tomka liczy się podobnie.
kornelial
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 29 lut 2008, o 22:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: poznan
Podziękował: 6 razy

Robert ćwiczy rzuty karne

Post autor: kornelial »

Dziekuje za pomoc.
Czy ktos moglby mi pomoc jeszcze z podpunktem "e"?
Awatar użytkownika
Janek Kos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 417
Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 98 razy

Robert ćwiczy rzuty karne

Post autor: Janek Kos »

Jest rozwiązane. Potrzeba średnio 2.5 strzałów.
Awatar użytkownika
Wicio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1318
Rejestracja: 13 maja 2008, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 561 razy

Robert ćwiczy rzuty karne

Post autor: Wicio »

No bo jeżeli trafia średnio 4 na 10 to:

\(\displaystyle{ \frac{4}{4} = \frac{10}{4}}\)
\(\displaystyle{ 1=2,5}\) więc potrzebuje średnio 2,5 próby
kornelial
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 29 lut 2008, o 22:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: poznan
Podziękował: 6 razy

Robert ćwiczy rzuty karne

Post autor: kornelial »

serdecznie dziekuje za pomoc
ODPOWIEDZ