Robert ćwiczy rzuty karne
-
- Użytkownik
- Posty: 42
- Rejestracja: 29 lut 2008, o 22:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: poznan
- Podziękował: 6 razy
Robert ćwiczy rzuty karne
Robert ćwiczy rzuty karne. Trafia do bramki z prawdopodobieństwem p=0,4
a) Jak duże jest prawdopodobieństwo, że na osiem rzutów trafi dokładnie trzy?
b) Jak duże jest prawdopodobieństwo, ze na osiem rzutów trafi przynajmniej trzy?
c) Jak duże jest prawdopodobieństwo, ze padnie pierwsza bramka w czwartym strzale?
d) Po ilu strzałach prawdopodobieństwo, ze padnie jedna bramka jest 99,9%
e) Ile potrzeba średnio prób, żeby strzelic bramkę?
f) Robert i jego kolega Tomek strzelają naprzemian. Rozpoczyna Robert. Zwyciezcą jest ten, który pierwszy trafi bramkę.
Prawdopodobieństwo trafienia Roberta \(\displaystyle{ P^{R}}\)
Prawdopodobieństwo trafienia Tomka \(\displaystyle{ P^{T}}\)
Z jakim prawdopodobieństwem zwycieży Robert, jeżeli można założyć, że gra trwa nieskończenie długo.
[ Dodano: 4 Czerwca 2008, 21:32 ]
Przepraszam nie napisalam, czy ktos moglby pomoc mi w rozwiazaniu tego zadania?
Z gory dziekuje
a) Jak duże jest prawdopodobieństwo, że na osiem rzutów trafi dokładnie trzy?
b) Jak duże jest prawdopodobieństwo, ze na osiem rzutów trafi przynajmniej trzy?
c) Jak duże jest prawdopodobieństwo, ze padnie pierwsza bramka w czwartym strzale?
d) Po ilu strzałach prawdopodobieństwo, ze padnie jedna bramka jest 99,9%
e) Ile potrzeba średnio prób, żeby strzelic bramkę?
f) Robert i jego kolega Tomek strzelają naprzemian. Rozpoczyna Robert. Zwyciezcą jest ten, który pierwszy trafi bramkę.
Prawdopodobieństwo trafienia Roberta \(\displaystyle{ P^{R}}\)
Prawdopodobieństwo trafienia Tomka \(\displaystyle{ P^{T}}\)
Z jakim prawdopodobieństwem zwycieży Robert, jeżeli można założyć, że gra trwa nieskończenie długo.
[ Dodano: 4 Czerwca 2008, 21:32 ]
Przepraszam nie napisalam, czy ktos moglby pomoc mi w rozwiazaniu tego zadania?
Z gory dziekuje
-
- Użytkownik
- Posty: 2000
- Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 202 razy
Robert ćwiczy rzuty karne
słaby strzelec z tego Roberta
b)\(\displaystyle{ P= 1-P'=1-(\frac{3}{5})^6}\)
c)\(\displaystyle{ P= \frac{3}{5} * \frac{3}{5} * \frac{3}{5} * \frac{2}{5}}\)
d)rozumiem że ma być "przynajmniej jedna bramka"- mamy równanie
\(\displaystyle{ P=1-P'=1-( \frac{3}{5})^n qslant 0,999}\)
b)\(\displaystyle{ P= 1-P'=1-(\frac{3}{5})^6}\)
c)\(\displaystyle{ P= \frac{3}{5} * \frac{3}{5} * \frac{3}{5} * \frac{2}{5}}\)
d)rozumiem że ma być "przynajmniej jedna bramka"- mamy równanie
\(\displaystyle{ P=1-P'=1-( \frac{3}{5})^n qslant 0,999}\)
- Janek Kos
- Użytkownik
- Posty: 417
- Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 98 razy
Robert ćwiczy rzuty karne
Jak dla mnie to podpunkt a i b są źle rozwiązane. Powinno być:
a) \(\displaystyle{ p={8\choose 3}0.4^3\cdot 0.6^5=0.2787}\)
b) \(\displaystyle{ p=1-{8\choose 0}0.4^0\cdot 0.6^8-{8\choose 1}0.4^1\cdot 0.6^7-{8\choose 2}0.4^2\cdot 0.6^6=0.6846}\)
Jeśli zaś idzie o e, to moim zdaniem mamy tu rozkład geometryczny tj. zmienną losową, która opisuje czas oczekiwania na pierwszy sukces w ciągu niezależnych prób Bernoulliego.
\(\displaystyle{ P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\ \ \ \ k=1,2,3...}\)
Dla tego rozkładu:
\(\displaystyle{ EX=\frac{1}{p}\ \ \ \ \ \ EX=\frac{1}{0.4}=\frac{10}{4}}\)
[ Dodano: 5 Czerwca 2008, 17:26 ]
Co do ostatniego punktu, to najlepiej to sobie rozpisać:
Napisze prawdopodobieństwa tego, że mecz się skończy po pierwszej, drugiej albo trzeciej kolejce:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline Kolejka & Robert & Tomek\\ \hline 1 & p_R & (1-p_R)p_T\\ \hline 2 & (1-p_R)(1-p_T)p_R & (1-p_R)(1-p_T)(1-p_R)p_T\\ \hline 3 & (1-p_R)(1-p_T)(1-p_R)(1-p_T)p_R & (1-p_R)(1-p_T)(1-p_R)(1-p_T)p_T\\ \hline \end{tabular}}\)
itd...
Można teraz policzyć prawdopodobieństwo zwycięstwa dla poszczególnych graczy:
\(\displaystyle{ P_R=p_R+(1-p_R)(1-p_T)p_R+(1-p_R)(1-p_T)(1-p_R)(1-p_T)p_R+...=p_R \sum_{i=1}^{\infty}q_{RT}^{i-1}\ \ \ gdzie\ \ \ q_{RT}= (1-p_R)(1-p_T)}\)
To już jest suma nieskończonego szeregu geometrycznego, wystarczy podstawić do wzoru i znamy prawdopodobieństwo zwycięstwa Roberta. Tomka liczy się podobnie.
a) \(\displaystyle{ p={8\choose 3}0.4^3\cdot 0.6^5=0.2787}\)
b) \(\displaystyle{ p=1-{8\choose 0}0.4^0\cdot 0.6^8-{8\choose 1}0.4^1\cdot 0.6^7-{8\choose 2}0.4^2\cdot 0.6^6=0.6846}\)
Jeśli zaś idzie o e, to moim zdaniem mamy tu rozkład geometryczny tj. zmienną losową, która opisuje czas oczekiwania na pierwszy sukces w ciągu niezależnych prób Bernoulliego.
\(\displaystyle{ P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\ \ \ \ k=1,2,3...}\)
Dla tego rozkładu:
\(\displaystyle{ EX=\frac{1}{p}\ \ \ \ \ \ EX=\frac{1}{0.4}=\frac{10}{4}}\)
[ Dodano: 5 Czerwca 2008, 17:26 ]
Co do ostatniego punktu, to najlepiej to sobie rozpisać:
Napisze prawdopodobieństwa tego, że mecz się skończy po pierwszej, drugiej albo trzeciej kolejce:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline Kolejka & Robert & Tomek\\ \hline 1 & p_R & (1-p_R)p_T\\ \hline 2 & (1-p_R)(1-p_T)p_R & (1-p_R)(1-p_T)(1-p_R)p_T\\ \hline 3 & (1-p_R)(1-p_T)(1-p_R)(1-p_T)p_R & (1-p_R)(1-p_T)(1-p_R)(1-p_T)p_T\\ \hline \end{tabular}}\)
itd...
Można teraz policzyć prawdopodobieństwo zwycięstwa dla poszczególnych graczy:
\(\displaystyle{ P_R=p_R+(1-p_R)(1-p_T)p_R+(1-p_R)(1-p_T)(1-p_R)(1-p_T)p_R+...=p_R \sum_{i=1}^{\infty}q_{RT}^{i-1}\ \ \ gdzie\ \ \ q_{RT}= (1-p_R)(1-p_T)}\)
To już jest suma nieskończonego szeregu geometrycznego, wystarczy podstawić do wzoru i znamy prawdopodobieństwo zwycięstwa Roberta. Tomka liczy się podobnie.