Projekt - transformacja zmiennej losowej

[tomek.]

Witam, mam problem z pewnym zadaniem.
"Zaproponować transformację zmiennej losowej o rozkładzie Cauchy'ego w wyniku której otrzymuje się losową liczbę punktów ze zbioru 1, 2, 3.
-Parametry rozkładu dobrać samodzielnie.
-Podać trzy uzasadnienia dla wybranej transformacji i parametrów: dwa matematyczne, jedno dowolne."

Chodzi o to, by szansa wylosowania 3 była jak najbliższa 1, ale prawdopodobieństwo dla pozostałych dwóch wartości nie może być zerowe.

To zadanie już tu występuje, ale dla rozkładu Poissona, który jest rozkładem dyskretnym, tu chodzi o ciągły... Pomocy

[Janek Kos]

Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy'ego o parametrach \(\displaystyle{ \mu}\),\(\displaystyle{ \lambda}\), jeśli jej gęstość jest określona wzorem:

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{\lambda}{\lambda^2+(x-\mu)^2}\ \ \ gdzie\ \ \ \lambda>0}\)

Parametry najlepiej ustawić \(\displaystyle{ \lambda =1}\) oraz \(\displaystyle{ \mu=0}\), wtedy \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2}}\) i to uprości obliczenia \(\displaystyle{ \int_{}^{} f(x)dx=\frac{1}{\pi}arctgx}\), poza tym mamy rozkład symetryczny względem zera.

Zmienną losową Y można zdefiniować następująco:

\(\displaystyle{ Y= \begin{cases} 1\ \ \ jesli\ \ \ Xa \\ 3\ \ \ jesli\ \ \ -a\leqslant X \leqslant a \end{cases}}\)

Ponieważ rozkład X jest symetryczny względem zera:

\(\displaystyle{ P(Y=1)=P(Y=2)=P(X}\)

Wystarczy dobrać jakieś \(\displaystyle{ a}\), dla którego to prawdopodobieństwo jest małe, może być np. a=500.