Udowodnij własność

[grzegorz87]

Udowodnij własność rozkładu prawdopodobieństwa:
jeżeli \(\displaystyle{ A_{n}}\) , n=1,2,.... jest wstępującym ciągniem zdarzeń, to znaczy \(\displaystyle{ A_{n} A_{n+1}}\), to
\(\displaystyle{ P ( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}) = \lim_{n \to } P(A_{n})}\)

[sigma_algebra1]

Typowy dowód dotyczący tzw. własności ciągłości prawdopodobieństwa. Podobna własność dla zbiorów zstępujących i przekroju. Zresztą można uogólnić.

Zdefiniuj zdarzenia \(\displaystyle{ B_1 = A_1, B_2 = A_2\backslash B_1, B_n = A_n\backslash \bigcup_{i=1}^{n-1}B_i}\)

Teraz wystarczy zauważyć, że zdarzenia \(\displaystyle{ B_j}\) są parami rozłączne i skorzystać z własności prawdopodobieństwa jako miary - przeliczalnej (i skończonej) addytywności