Niezależnosc zdarzen

[harufu]

Dana jest przestrzeń probalistyczna (G,E,P). Niech A,B należa do E. Sprawdzić czy zachodzi własność:
A,B sa niezależne A,B' sa niezależne.

Jak się zabrać za takie zadanko?

[lukasz1804]

Wykażemy implikację \(\displaystyle{ \Rightarrow}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ A\cap B}\) i \(\displaystyle{ A\cap B'}\) są zdarzeniami rozłącznymi oraz \(\displaystyle{ (A\cap B)\cup(A\cap B')=A}\), to

\(\displaystyle{ P(A\cap B')+P(A\cap B)=P(A)}\).

Z założenia mamy \(\displaystyle{ P(A\cap B)=P(A)P(B)}\). Stąd i z powyższego dostajemy

\(\displaystyle{ P(A\cap B')=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(B')}\).

Dowód własności w drugą stronę wynika natchmiast z wykazanej implikacji. Wystarczy bowiem zauważyć, że \(\displaystyle{ (B')'=B}\).