rozkład Poissona

[piotr580]

Witam,
mam do zrobienia takie zadanie

Zaproponowac transformacje zmiennej losowej o rozkładzie Poissona w wyniku której otrzymuje sie losowa liczbe punktów ze zbioru 1, 2, 3.

czy ktos ma jakis pomysl jak w ogule to ugrysc?

[Janek Kos]

Nie wiem czy o to chodzi ale jeśli mamy zmienną losową X o rozkładzie Poissona, to:

\(\displaystyle{ P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\ \ \ \ \ k=0,\ 1,\ 2,\ ...,\ \ \ \lambda>0}\)

Teraz żeby zmienna przyjmowała wartości ze zbioru 1,2,3 można ją zmienić następująco:

\(\displaystyle{ P(X=1)\ \ \ oraz\ \ \ P(X=2)}\) zgodnie ze wzorem natomiast \(\displaystyle{ P(X=3)=1-P(X=1)-P(X=2)}\)

[piotr580]

no jest jeszcze jeden warunek do tego zadania ktorego nie napisalem a mianowicie prawdopodobienstwo otrzymania trojki ma byc najwieksze

[Janek Kos]

W takim razie zależy to jeszcze od lambdy. Żeby działało to co napisałem wcześniej oraz twój warunek, że 3 ma mieć największe prawdopodobieństwo spośród tych trzech wartości, wystarczy wziąć \(\displaystyle{ \lambda=3}\). Wtedy niech \(\displaystyle{ X Poiss(3)}\) a zmienna \(\displaystyle{ Y}\) jest określona jak następuje:

\(\displaystyle{ Y= \begin{cases} 1\ \ \ gdy\ \ \ X=1 \\ 2\ \ \ gdy\ \ \ X=2\\ 3\ \ \ gdy\ \ \ X=k\ i\ k 1,2 \end{cases}}\)

Wtedy:

\(\displaystyle{ P(Y=1)=0.1494\ \ \ \ P(Y=2)=0.2240\ \ \ \ P(Y=3)=0.6266}\)

Można oczywiście jeszcze inaczej kombinować, tak żeby 3 miało prawdopodobieństwo bliskie jedności ale nie wiem czy o to chodzi w tym zadaniu.

[piotr580]

dziekuje bardzo za odpowiedz:) oto dokladna tresc zadana. Wydaje mi sie, ze o to dokladnie chodzilo,tylko zastanawiam sie jak te uzasadnienia podac:)

pozdrawiam

Zaproponowac transformacje zmiennej losowej o rozkładzie Poissona
w wyniku której otrzymuje sie losowa liczbe punktów ze zbioru 1, 2, 3. Parametry rozkładu dobrac samodzielnie.

Podac trzy uzasadnienia dla wybranej transformacji i parametrów, dwa matematyczne, a jedno dowolnego typu. Sensowne propozycje umozliwia studentowi otrzymanie dodatkowych punktów na zasadzie losowania według podanej przez niego procedury.

[Janek Kos]

Z tym to zawsze jest problem:) Ja uzasadniłbym to tak:

1) Transformacja taka, ponieważ łatwo policzyć odpowiednie prawdopodobieństwa. Gdyby np. napisać Y=1, wtedy gdy \(\displaystyle{ X\in\{1,4,9,16,25,...,n^2\}}\), Y=2, gdy \(\displaystyle{ X\in\{2,3,5,6,7,8\}}\) a Y=3 dla reszty, to jasno widać, że to samobójstwo.

2) Parametr taki, ponieważ przy takiej transformacji \(\displaystyle{ \lambda=3}\) jest jednym z parametrów dla których 3 osiąga największe prawdopodobieństwo.

[piotr580]

jak zwykle szybka odpowiedz:)

uzasadnienia:

matematyczne:
1) łatwo policzyc prawdopodobienstwa
2) dla 3 duze prawdopodobienstwo
dowolnego typu:
1)hmmm bede musial co wymyslec:)

mam nadzieje ze jakos przejda te rozwiazania:) albo czekam na jeszcze jakies pomysly:)

pozdrawiam