Znaleźć dystrybuantę następującej zmiennej losowej:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{2 \sqrt{xy}} \ dla \ 0 < x qslant y qslant 1, \\ 0 \ dla \ pozostalych \ x,y\end{cases}}\).
Kwestia jest następująca:
doliczyłem się że płaszczyznę muszę podzielić na kawałki... potem te kawałki zapisałem odpowiednio dla zmiennej y i x
Dla \(\displaystyle{ x\leqslant 0 \ \ y\leqslant 0 \ f(x,y)=0}\) więc \(\displaystyle{ F(x,y)=0}\). Jeśli \(\displaystyle{ 0\leqslant x qslant 1}\), to w zależności od wartości \(\displaystyle{ y}\) będziemy mieć różne sytuacje:
\(\displaystyle{ 1) \ 0 qslant x qslant 1, \ y qslant x \\ 2)\ 0 qslant x qslant 1 \ , \ x qslant y qslant 1 \\ 3) \ 0 qslant x qslant 1 \ , \ y qslant 1}\)
to jak rozpisać granice w całkach i dlaczego właśnie takie granice mają być??
dzięki z góry za odpowiedź
wielowymiarowe zmienne losowe
- Janek Kos
- Użytkownik
- Posty: 417
- Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 98 razy
wielowymiarowe zmienne losowe
Zrobiłbym to tak:
Płaszczyznę podzieliłbym na takie 6 obszarów, a później granice całkowania wyznaczałbym jak przy zwyczajnym liczeniu całki podwójnej:
Najłatwiej jest dla obszarów A i F, bo:
1) Dla \(\displaystyle{ (x,y)\in F}\)
\(\displaystyle{ F(x,y)=0}\)
2) Dla \(\displaystyle{ (x,y)\in A}\)
\(\displaystyle{ F(x,y)=1}\)
Teraz chyba trochę trudniej.
3) Dla \(\displaystyle{ (x,y)\in E}\). (całkujemy wewnątrz trójkąta)
\(\displaystyle{ F(x,y)= t_{0}^{x} t_{u}^{y}\frac{1}{2\sqrt{uv}}dvdu= t_{0}^{x}\frac{1}{2\sqrt{u}}\bigg[2v^{\frac{1}{2}}\bigg]_u^ydu=\\= t_{0}^{x}\sqrt{y}\frac{1}{\sqrt{u}}-1du=\sqrt{y}(2\sqrt{x}-x)}\)
4) Dla Dla \(\displaystyle{ (x,y)\in B}\).
\(\displaystyle{ F(x,y)= t_{0}^{y} t_{u}^{y}\frac{1}{2\sqrt{uv}}dvdu= t_{0}^{y}\sqrt{y}\frac{1}{\sqrt{u}}-1du=2y-y^{\frac{3}{2}}}\)
5) Dla Dla \(\displaystyle{ (x,y)\in C}\). Granice całkowania będą takie jak dla B.
\(\displaystyle{ F(x,y)= t_{0}^{y} t_{u}^{y}\frac{1}{2\sqrt{uv}}dvdu=2y-y^{\frac{3}{2}}}\)
6) Dla Dla \(\displaystyle{ (x,y)\in D}\).
\(\displaystyle{ F(x,y)= t_{0}^{x} t_{u}^{1}\frac{1}{2\sqrt{uv}}dvdu= t_{0}^{x}\frac{1}{2\sqrt{u}}(2-2\sqrt{u})du=2\sqrt{x}-x}\)
Podsumowując:
\(\displaystyle{ F(x,y)= \begin{cases} 0\ \ \ dla\ \ (x,y)\in F \\ \sqrt{y}(2\sqrt{x}-x)\ \ \ dla\ \ (x,y)\in E \\ 2y-y^{\frac{3}{2}}\ \ \ dla\ \ (x,y)\in B\cup C\\ 2\sqrt{x}-x\ \ \ dla\ \ (x,y)\in D\\1\ \ \ dla\ \ (x,y)\in A \end{cases}}\)
Płaszczyznę podzieliłbym na takie 6 obszarów, a później granice całkowania wyznaczałbym jak przy zwyczajnym liczeniu całki podwójnej:
Najłatwiej jest dla obszarów A i F, bo:
1) Dla \(\displaystyle{ (x,y)\in F}\)
\(\displaystyle{ F(x,y)=0}\)
2) Dla \(\displaystyle{ (x,y)\in A}\)
\(\displaystyle{ F(x,y)=1}\)
Teraz chyba trochę trudniej.
3) Dla \(\displaystyle{ (x,y)\in E}\). (całkujemy wewnątrz trójkąta)
\(\displaystyle{ F(x,y)= t_{0}^{x} t_{u}^{y}\frac{1}{2\sqrt{uv}}dvdu= t_{0}^{x}\frac{1}{2\sqrt{u}}\bigg[2v^{\frac{1}{2}}\bigg]_u^ydu=\\= t_{0}^{x}\sqrt{y}\frac{1}{\sqrt{u}}-1du=\sqrt{y}(2\sqrt{x}-x)}\)
4) Dla Dla \(\displaystyle{ (x,y)\in B}\).
\(\displaystyle{ F(x,y)= t_{0}^{y} t_{u}^{y}\frac{1}{2\sqrt{uv}}dvdu= t_{0}^{y}\sqrt{y}\frac{1}{\sqrt{u}}-1du=2y-y^{\frac{3}{2}}}\)
5) Dla Dla \(\displaystyle{ (x,y)\in C}\). Granice całkowania będą takie jak dla B.
\(\displaystyle{ F(x,y)= t_{0}^{y} t_{u}^{y}\frac{1}{2\sqrt{uv}}dvdu=2y-y^{\frac{3}{2}}}\)
6) Dla Dla \(\displaystyle{ (x,y)\in D}\).
\(\displaystyle{ F(x,y)= t_{0}^{x} t_{u}^{1}\frac{1}{2\sqrt{uv}}dvdu= t_{0}^{x}\frac{1}{2\sqrt{u}}(2-2\sqrt{u})du=2\sqrt{x}-x}\)
Podsumowując:
\(\displaystyle{ F(x,y)= \begin{cases} 0\ \ \ dla\ \ (x,y)\in F \\ \sqrt{y}(2\sqrt{x}-x)\ \ \ dla\ \ (x,y)\in E \\ 2y-y^{\frac{3}{2}}\ \ \ dla\ \ (x,y)\in B\cup C\\ 2\sqrt{x}-x\ \ \ dla\ \ (x,y)\in D\\1\ \ \ dla\ \ (x,y)\in A \end{cases}}\)