Sn-liczba sukcesów w prawie wielkich liczb Bernouliiego.
n-liczba prób
p-prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie
Udowodnij. że
dla każdego epsilon>0, spełnione jest:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } P( ft| \frac{Sn}{n} -p \right| qslant \epsilon )=1}\)
Udowodnij Słabe Prawo Wielkich Liczb Bernoulliego.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Udowodnij Słabe Prawo Wielkich Liczb Bernoulliego.
Tezę twierdzenia można zapisać równoważnie w postaci:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}P(|\frac{S_n}{n}-p|\geq\varepsilon)=0}\).
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\).
Wykorzystamy znane wzory na wartość oczekiwaną i wariancję w rozkładzie Bernoulliego: \(\displaystyle{ ES_n=np,\ D^2S_n=np(1-p)}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ E(\frac{S_n}{n})=\frac{1}{n}ES_n=\frac{1}{n}np=p}\).
Zatem z nierówności Czebyszewa i własności wariancji dostajemy
Pozdrawiam i w razie wątpliwości proszę o dalsze pytania.
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}P(|\frac{S_n}{n}-p|\geq\varepsilon)=0}\).
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\).
Wykorzystamy znane wzory na wartość oczekiwaną i wariancję w rozkładzie Bernoulliego: \(\displaystyle{ ES_n=np,\ D^2S_n=np(1-p)}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ E(\frac{S_n}{n})=\frac{1}{n}ES_n=\frac{1}{n}np=p}\).
Zatem z nierówności Czebyszewa i własności wariancji dostajemy
\(\displaystyle{ P(|\frac{S_n}{n}-p|\geq\varepsilon)=P(|\frac{S_n}{n}-E(\frac{S_n}{n})|\geq\varepsilon)\leq\frac{1}{\varepsilon^2}D^2(\frac{S_n}{n})=\frac{1}{\varepsilon^2n^2}D^2S_n=\frac{1}{\varepsilon^2n}p(1-p)}\).
łatwo zauważamy, że ostatnie wyrażenie dąży do zera przy \(\displaystyle{ n\to\infty}\).Pozdrawiam i w razie wątpliwości proszę o dalsze pytania.