Dany jest zbiór...

[Myszor]

Mam tu dla Was pewne zadanie, ale nie mam pojęcia jak je rozpisać:

dany jest zbiór: \(\displaystyle{ X:{1,2,3...n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n qslant 3}\) i \(\displaystyle{ n N}\). Ze zbioru X losujemy dwie liczby(bez zwracania). Oblicz prawdopodobieństwo, że pierwsza wylosowana liczba jest większa od drugiej.

[Wiśnia]

zacznijmy o przestrzeni zdarzeń elementarnych , pierwszą liczbę wybierzemy dokładnie na n sposobów , drugą zaś na n-1 sposobów (lub jak niektórzy wolą przestrzenią jest zbiór wszystkich dwu-wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=n*(n-1)}\)

niech A będzie zbiorem zdarzeń które nam pasują .
Załóżmy że jako pierwszą wylosowaliśmy liczbę n .dla niej jako drugą możemy wylosować dowolną liczbę z n-1 pozostałych i warunki będą spełnione
jeżeli najpierw wylosujemy liczbę n-1 to kolejna wylosowana może być każdą mniejszą od niej . jest ich dokładnie n-2
.....
jeżeli wylosujemy 3 to jako drugą możemy wylosować tylko 2 lub 1 - są dwie możliwości
jezeli wylosujemy 2 to tylko jedna liczba spełnia warunki jest nią jeden
dla 1 żadna liczba nie spełnia warunków (bo każda jest większa )
ogólnie liczba wszystkich takich par jest równa sumie możliwości dla poszczególnych liczb n,n-1,n-2...,2,1
należy więc sumować


\(\displaystyle{ (n-1)+(n-2)+(n-3)+...+2+1= \frac{(n-1+1)(n-1)}{2}}\) (z sumy wyrazów ciągu arytmetycznego
teraz należy podstawić do wzoru na prawdopodobieństw. otrzymany wynik \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)