Kontrola losowa, prawdopodobieństwo odrzucenia partii.

[lepidendron]

Partię 50 sztuk poddaje się losowej kontroli, przy czym jeśli z dwóch wylosowanych sztuk co najmniej jedna jest wadliwa, to partię odrzucamy; w przeciwnym przypadku - przyjmujemy. Czy przy takiej kontroli bardziej prawdopodobne jest odrzucenie partii zawierającej 8% sztuk wadliwych, czy przyjęcie partii zawierającej 80% sztuk wadliwych?

Jako że kombinatoryka nie jest moją najmocniejszą stroną to proszę o wykonanie tego zadania wraz z dokładnym tłumaczeniem postępujących po sobie etapów.

Pozdrawiam

[gajatko]

Niech w - liczba Wadliwych i 50-w - liczba Dobrych.
Wtedy losujemy parę z {WD,DD,WW}
Partię odrzucamy, jeśli wylosujemy parę z {WD,WW}
Liczba takich kombinacji to:
WD (tj. DW): \(\displaystyle{ \begin({{50-w}\choose 1} {w \choose 1}\end)=w(50-w)}\)
Bo wybieramy jeden z dobrych i jeden z wadliwych.
WW: \(\displaystyle{ w\choose 2}\)
bo wybieramy dwa z w wadliwych.
Wszystkich wyborów jest \(\displaystyle{ {50}\choose 2}\)
Zatem prawdopodobieństwo odrzucenia partii jest równe
\(\displaystyle{ P_w=\frac{{w\choose 2}+w(50-w)}{{{50}\choose 2}}}\)
Jeśli jest 8% wadliwych, to w=4
Jeśli jest 80% dobrych, to w=10
Podstawiasz do \(\displaystyle{ P_w}\) i porównujesz.

[lepidendron]

gajatko, prawdopodobieństwo przyjęcia to będzie \(\displaystyle{ 1-prawdopodobieństwo odrzucenia}\), tak?

[gajatko]

Tak.