f-cja charakterystyczna

[Naiya]

jade na rozne sposoby i tak nie wychodzi.. :/ chodzi o obliczenia glownie.

wyznaczyc f-cje charakterystyczna:

\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}2x \, dla \, x \\ 0\end{array}\right.}\)

tam oczywiscie zero dla pozostalych.
dziekuje z gory:)

[drunkard]

Całka z xe^x to przez części chyba... Dawno się w to nie bawiłem, może ktoś inny dokładniej to rozpisze.

[abrasax]

\(\displaystyle{ \phi(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f(x)dx=2\int_{0}^{1}xe^{itx}dx}\)
i przez części
\(\displaystyle{ \phi(t)=\frac{1}{it}e^{it}(1-\frac{1}{it})-\frac{1}{t^2}}\)

[Naiya]

thx.

a jak bierzesz przez czesci fo liczysz pochodna z x a calkujesz e^(itX) ?

[abrasax]

tak
\(\displaystyle{ v=x, v'=1}\)
\(\displaystyle{ u'=e^{itx}, u=\frac{1}{it}e^{itx}}\)

[Naiya]

kurcze, moze jestem we wrzesniu kopnieta ;P ale czy mozesz mi powiedziec jak policzyc calkie z \(\displaystyle{ e^{itx}}\) ?

[abrasax]

i, t potraktuj jako stałe. Żeby było lepiej widać możesz zastosować podstawienie
\(\displaystyle{ z=itx}\)
\(\displaystyle{ dz=it dx}\)
\(\displaystyle{ dx=\frac{1}{it}dz}\)
\(\displaystyle{ \int e^{itx}dx= \frac{1}{it} \int e^z dz=\frac{1}{it} e^z+C=\frac{1}{it} e^{itx}+C}\)

[Naiya]

dzieki wielkie.