Mam problem z rozwiązaniem następującego zadania. W sakiewce jest 30 monet. 20 Zwyczajnych, 8 przy rzucaniu pokazuje orła z prawdopodobieństwem 3/4, a 2 mają orła z obu stron. Monety wyrzucono na stół z sakiewki. Jeżeli prze X oznaczymy ilość otrzymanych orłów, to oblicz wartość oczekiwaną i jej wariancję.
Brak mi pomysłu jak to rozwiązać.
Rachunek prawdopodobieństwa - zmienna losowa
-
fafner
- Użytkownik
- Posty: 198
- Rejestracja: 11 sty 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: rumia
- Podziękował: 25 razy
- Pomógł: 9 razy
Rachunek prawdopodobieństwa - zmienna losowa
wariancję nie wiem co to jest ale wydaje mi sie ze skoro tam jest 3/4 prawdopodobieństwa dla tych 8 monet to najwieksze jest prawdopodobienstwo ze tylko orly wypadna, a te 2 monety to wiadomo ze 100%, więc
\(\displaystyle{ 10 qslant x qslant 30}\)
\(\displaystyle{ 10 qslant x qslant 30}\)
-
Janek Kos
- Użytkownik
- Posty: 417
- Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 98 razy
Rachunek prawdopodobieństwa - zmienna losowa
W tym zadaniu nie trzeba nawet znać rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ X}\). Można zapisać \(\displaystyle{ X}\) jako:
\(\displaystyle{ X=Z+Y+2}\), gdzie \(\displaystyle{ Z}\) ma rozkład Bernoulliego z parametrem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład Bernoulliego z parametrem \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\). Teraz mamy:
\(\displaystyle{ EX=EZ+EY+2\overset{*}{=}20 \frac{1}{2}+8 \frac{3}{4}+2=18}\)
W \(\displaystyle{ *}\) korzystam z faktu, że wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie Bernoulliego wynosi \(\displaystyle{ EY=n p}\).
Z wariancją \(\displaystyle{ X}\) postępuje podobnie:
\(\displaystyle{ D^2X=D^2(Z+Y+2)=D^2Z+D^2Y=20 \frac{1}{2} \frac{1}{2}+8 \frac{3}{4} \frac{1}{4}=6\frac{1}{2}}\)
Dzieje się tak dlatego, że zmienne \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\) są niezależne a wariancja zmiennej losowej o rozkładzie Bernoulliego dana jest wzorem \(\displaystyle{ EY=n p q\ \ \ \text{i}\ \ \ p+q=1}\)
\(\displaystyle{ X=Z+Y+2}\), gdzie \(\displaystyle{ Z}\) ma rozkład Bernoulliego z parametrem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład Bernoulliego z parametrem \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\). Teraz mamy:
\(\displaystyle{ EX=EZ+EY+2\overset{*}{=}20 \frac{1}{2}+8 \frac{3}{4}+2=18}\)
W \(\displaystyle{ *}\) korzystam z faktu, że wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie Bernoulliego wynosi \(\displaystyle{ EY=n p}\).
Z wariancją \(\displaystyle{ X}\) postępuje podobnie:
\(\displaystyle{ D^2X=D^2(Z+Y+2)=D^2Z+D^2Y=20 \frac{1}{2} \frac{1}{2}+8 \frac{3}{4} \frac{1}{4}=6\frac{1}{2}}\)
Dzieje się tak dlatego, że zmienne \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\) są niezależne a wariancja zmiennej losowej o rozkładzie Bernoulliego dana jest wzorem \(\displaystyle{ EY=n p q\ \ \ \text{i}\ \ \ p+q=1}\)
-
jan gutek
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 1 maja 2008, o 15:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: nie wiem
Rachunek prawdopodobieństwa - zmienna losowa
Janek Kos pisze:W tym zadaniu nie trzeba nawet znać rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ X}\). Można zapisać \(\displaystyle{ X}\) jako:
\(\displaystyle{ X=Z+Y+2}\), gdzie \(\displaystyle{ Z}\) ma rozkład Bernoulliego z parametrem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład Bernoulliego z parametrem \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\). Teraz mamy:
\(\displaystyle{ EX=EZ+EY+2\overset{*}{=}20 \frac{1}{2}+8 \frac{3}{4}+2=18}\)
W \(\displaystyle{ *}\) korzystam z faktu, że wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie Bernoulliego wynosi \(\displaystyle{ EY=n p}\).
Z wariancją \(\displaystyle{ X}\) postępuje podobnie:
\(\displaystyle{ D^2X=D^2(Z+Y+2)=D^2Z+D^2Y=20 \frac{1}{2} \frac{1}{2}+8 \frac{3}{4} \frac{1}{4}=6\frac{1}{2}}\)
Dzieje się tak dlatego, że zmienne \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\) są niezależne a wariancja zmiennej losowej o rozkładzie Bernoulliego dana jest wzorem \(\displaystyle{ EY=n p q\ \ \ \text{i}\ \ \ p+q=1}\)
Dzieki za pomoc.