2 osoby n razy monetą. Prawd ze otrzymaja rowna ilosc orło

[antekh]

Dwie osoby rzucają po n razy monetą. Jakie jest prawdopodobienstwo ze otrzymają jednakowe liczby orłów???

mysle ze to zadanie trzeba zrobic wykorzystując zmienne losowe ,ale nie bardzo wiem jak.


I drugie zadanie

Wszystkie liczby ze zbioru {1,2,3....n} ustawiono w ciąg różnowartościowy. Obliczyc prawdopodobieństwo ze ostatni wyraz jest średnią arytmetyczną dwóch pierwszych.

[Aram]

zad 1.

ja bym robil to tak:

przy zalozeniu ze zdarzenia sa niezalezne mozna napisac ze prawdopodobienstwo ze dwie osoby rzucily orla r-razy jest rowne:

\(\displaystyle{ P(O_{1}=r i O_{2}=r) =P(O_{1}=r)P(O_{2}=r) =({n\choose r}2^{-n})^{2}}\)

teraz prawdopodobienstwo ze osoby wyrzucily tyle samo razy orla jest rowne:

\(\displaystyle{ \bigsum_{r=0}^{n}P(O_{1}=r i O_{2}=r) = \bigsum_{r=0}^{n}({n\choose r}2^{-n})^{2} = 2^{-2n}(n!)^{2}\bigsum_{r=0}^{n}\frac{1}{((n-r)!r!)^{2}}}\)

i wlasnie nie wiem czy mozna to \(\displaystyle{ \bigsum_{r=0}^{n}\frac{1}{((n-r)!r!)^{2}}}\) zamienic na jakies prostsze wyrazenie.

[półpasiec]

sumowac powinienes od r=0, a to wyrazenie da sie ladnie zapisac, wynosi \(\displaystyle{ \frac{2n \choose n}{(n!)^2}}\)

[Aram]

no tak od 0... wiesz moze jak udowodnic ta tozsamosc ?

[półpasiec]

tak wiem
niepotrzebnie wywalales \(\displaystyle{ (n!)^2}\)
dostaniesz sume kwadratow dwumianow, zapisujesz je tak \(\displaystyle{ {n \choose i}{n \choose {n-i}}}\) i zliczasz to tak
sposrod grupy n chlopcow i n dziewczat wybierasz n osob mozna to zrobic na 2n po n sposobow albo wybrac i dziewczyn oraz n-i chlopakow sumujesz i wychodzi

[Aram]

zad 2.

zauwaz ze biorac dowolna liczbe r ze zbioru {1,2,3,...,n} masz 2(r-1) mozliwosci przedstawienia jej jako srednia artmetyczna dwoch pierwszych.

Dlatego wszystkich mozliwosci dla kazdej liczby bedzie \(\displaystyle{ \bigsum_{r=1}^{n} 2(r-1) = (n-1)n}\)

dlatego prawdopodobienstwo dla tego zadania bedzie rowne :

\(\displaystyle{ P=\frac{(n-1)n((n-3)!)}{n!}=\frac{1}{n-2}}\)

[ Dodano: Nie Wrz 18, 2005 1:49 pm ]



Reksio: fajny dowod:)

[antekh]

Dzieki za te zadania, teraz wydaja sie tak proste...