Prawdopodobieństwo z wielokątem

[sopi]

Wielokąt wypukły ma n wierzchołków \(\displaystyle{ (n qslant 3 \ i \ n N_{+})}\), spośród których losujemy jednocześnie dwa. Wyznacz n wiedząc , że prawdopodobieństwo wylosowania wierzchołków wyznaczających przekątną tego wielokąta jest mniejsze od 0,8.

[Janek Kos]

Można po prostu zauważyć, że prawdopodobieństwo wylosowania przekątnej to \(\displaystyle{ \frac{n-3}{n-1}}\) albo jeśli się tego nie widzi, to można skorzystać ze wzoru na liczbę przekątnych n-kąta wypukłego. Wtedy dla A - dwa wierzchołki wyznaczają przekątną:

\(\displaystyle{ |A|=\frac{1}{2}n(n-3)}\)
\(\displaystyle{ |\Omega|= {n \choose 2}=\frac{1}{2}n(n-1)}\)
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{n-3}{n-1}}\)

Pozostaje wyznaczyć n z nierówności:

\(\displaystyle{ \frac{n-3}{n-1}\ \ \ n\in\{3,4,5,...,11\}}\)