zadanie z plusami i minusami

[vomit]

Jest \(\displaystyle{ n}\) osób \(\displaystyle{ A_1,...,A_n}\). Osoba \(\displaystyle{ A_1}\) dostaje kartkę ze znakiem \(\displaystyle{ +}\) i z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\) zmienia znak na przeciwny i podaje kartkę osobie \(\displaystyle{ A_2}\), która z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\) zmienia znak na przeciwny i podaje kartkę osobie \(\displaystyle{ A_3}\), itd. Na końcu, po oddaniu kartki przez osobę \(\displaystyle{ A_n}\), zaobserwowano znak \(\displaystyle{ +}\). Jakie jest prawdopodobieństwo, ze osoba \(\displaystyle{ A_1}\)nie zmieniła znaku?
Proszę o wyjaśnienie jak się zabrać za to zadanie.
Z góry dziękuję za pomoc.

[Kartezjusz]

Schemat Bernouliego.Zamiana znaku na przeciwny-sukces

[xanowron]

Pozwolę sobie odświeżyć temat przyłączając się do prośby autora. Wskazówka wyżej jest dla mnie chyba niewystarczająca.

[norwimaj]

Kluczowe dla rozwiązania zadania jest policzenie, jakie jest prawdopodobieństwo, że w \(\displaystyle{ n}\) próbach znak na kartce zostanie zamieniony, czyli że będzie nieparzysta liczba sukcesów. Oznaczmy to zdarzenie przez \(\displaystyle{ Z_n}\) i niech \(\displaystyle{ x_n=\mathbb{P}(Z_n'), y_n=\mathbb{P}(Z_n)}\).

\(\displaystyle{ x_n=\binom{n}0p^0(1-p)^n+\binom{n}2p^2(1-p)^{n-2}+\binom{n}4p^4(1-p)^{n-4}\ldots}\),

\(\displaystyle{ y_n=\binom{n}1p^1(1-p)^{n-1}+\binom{n}3p^3(1-p)^{n-3}+\binom{n}5p^5(1-p)^{n-5}\ldots}\).

Po odjęciu stronami mamy

\(\displaystyle{ x_n-y_n=\binom{n}0p^0(1-p)^n+\binom{n}1(-p)^1(1-p)^{n-1}+\binom{n}2p^2(1-p)^{n-2}+\\\\+\binom{n}3(-p)^3(1-p)^{n-3}+\ldots=(1-2p)^n.}\)

Ponadto wiemy, że \(\displaystyle{ x_n+y_n=1}\), co pozwala wyliczyć \(\displaystyle{ x_n}\) i \(\displaystyle{ y_n}\).

Gdy już się z tym uporamy, dalej korzystamy z definicji prawdopodobieństwa warunkowego i z niezależności poszczególnych prób:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Z_1'|Z_n')=\frac{\mathbb{P}(Z_1')\cdot\mathbb{P}(Z_{n-1,2}')}{\mathbb{P}(Z_n')}}\).

Zdarzenie \(\displaystyle{ Z_{n-1,2}}\) powyżej ma oznaczać, że osoby o numerach \(\displaystyle{ 2,3,\ldots,n}\) sumarycznie nie zmieniły znaku. Wtedy \(\displaystyle{ \mathbb{P}(Z_{n-1,1}')=\mathbb{P}(Z_{n-1}')}\).

Jeśli dobrze policzyłem, to wychodzi wynik

\(\displaystyle{ \frac{x_1x_{n-1}}{x_n}=\frac{(1-p)(1+(1-p)^{n-1})}{1+(1-p)^n}}\).

[xanowron]

Zapomniałem odpisać w tym temacie, już mnie Sylwek poratował z tym

Rozwiązanie dokładnie takie jak norwimaj przedstawił wyżej. Mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{(1-p)(1+(1-2p)^{n-1})}{1+(1-2p)^n}}\) więc któryś z nas ma coś nie tak w rachunkach, ale idea jest taka sama.

[norwimaj]

Mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{(1-p)(1+(1-2p)^{n-1})}{1+(1-2p)^n}}\)

Słusznie. Źle przepisałem z kartki.

[natasza123]

A skąd wiadomo ze w\(\displaystyle{ Z_n}\) po n probach bedze nieparzysta liczba sukcesow?

[Kartezjusz]

By z plusa przejść na minus musi nie być zmiana znaku lub od razu trzy albo , pięć ( dwa minusy dają plus),

[leszczu450]

norwimaj, w Twoim rozumowaniu wszystko jest dla mnie jasne do momentu gdy mowa jest o prawdopodobieństwie warunkowym. Napisałeś taki wzór:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Z_1'|Z_n')=\frac{\mathbb{P}(Z_1')\cdot\mathbb{P}(Z_{n-1,2}')}{\mathbb{P}(Z_n')}}\)

Lewa strona jest dla mnie zrozumiała. Czytam ją tak: prawdopodobieństwo tego, że pierwsza osoba nie zmieni znaku pod warunkiem, że znak został zmieniony parzystą ilość razy. Teraz patrzę na prawą stronę. Z definicji to wyglądałoby tak:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Z_1'|Z_n')= \frac{\mathbb{P}(Z_1' \cap Z_n')}{\mathbb{P}(Z_n')}}\)

Jakim cudem nagle otrzymaliśmy to co Ty napisałeś? : )

Z góry dzięki!

[norwimaj]

Zdarzenie \(\displaystyle{ Z_1' \cap Z_n'}\) polega na tym, że osoba \(\displaystyle{ A_1}\) nie zmieni znaku oraz łączna liczba zmian znaku przez osoby \(\displaystyle{ A_2,A_3,\ldots,A_n}\) jest parzysta. Jest to więc przecięcie dwóch zdarzeń:

\(\displaystyle{ Z_1'}\) — osoba \(\displaystyle{ A_1}\) nie zmieni znaku,

\(\displaystyle{ Z_{n-1,2}'}\) — osoby \(\displaystyle{ A_2,A_3,\ldots,A_n}\) łącznie zmienią znak parzyście wiele razy. (możliwe, że dało się wymyślić czytelniejsze oznaczenie dla tego zdarzenia)

Potem jeszcze trzeba zauważyć, że zdarzenia \(\displaystyle{ Z_1'}\) oraz \(\displaystyle{ Z_{n-1,2}'}\) są niezależne.

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Z_1' \cap Z_n')=\mathbb{P}(Z_1' \cap Z_{n-1,2}')=\mathbb{P}(Z_1')\cdot\mathbb{P}( Z_{n-1,2}')=x_1\cdot x_{n-1}}\).

[leszczu450]

norwimaj, dzięki : ) Wcześniej już do tego doszedłem ale mimo wszystko dobrze wiedzieć, że nie błądzę : )