Dwie liczby ze zbioru - pierwsza większa od drugiej.

[igaaa]

Dany jest zbiór \(\displaystyle{ X= \{1,2,3,...,n\}, n>3, n \mathbb{N}}\). Ze zbioru X losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że pierwsza z wylosowanych liczb jest większa od drugiej.

[piotrekg2]

Gdy wylosujemy k-tą liczbe z n to tych po lewej stronie od k jest skonczona liczba a tych po prawej nieskonczenie wiele wiec to prawdopodobienstwo wynosi 0

[*Kasia]

piotrekg2, ?

Szanse, że druga liczba jest mniejsza są równe szansom wylosowania za drugim razem większej. Zatem \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}}\), a zadanie było na forum wielokrotnie, pod różnymi postaciami. Ostatnio chyba tutaj.

[piotrekg2]

Ale jakos ciezko mi pojac Twoje rozwiazanie dlaczego szanse sa rowne?

[*Kasia]

Szanse wylosowanie liczb a i b są równe szansom wylosowania liczb b i a. Różnią się tylko kolejnością.

[Janek Kos]

Spróbuję trochę skomplikować rozwiązanie.
Oznaczmy naszą pierwszą wylosowaną liczbę przez K, a drugą przez X wtedy dla ustalonego K=k:

\(\displaystyle{ P(X \frac{1}{n}+1 \frac{1}{n}=\frac{1}{n(1-n)}\bigg( \sum_{k=1}^{n-1}(k-1)\bigg)+\frac{1}{n}=\\=\frac{1}{n(1-n)}\bigg( \frac{(1+n-1)(n-1)}{2}-(n-1)\bigg)+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}}\)