Test jednokrotnego wyboru; talia kart - natrafienie na...

[Omnius]

zad 1.
Pewien student rozwiązując test jednokrotnego wyboru, w którym każdemu
pytaniu przyporządkowano piec odpowiedzi (w tym dokładnie jedna prawidłowa),
zna poprawne odpowiedzi lub zgaduje. Niech prawdopodobieństwo tego, ze zna poprawna odpowiedz na dane pytanie wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) .Czyli na połowę pytań odpowiada on „strzelając”. Ponieważ jest piec odpowiedzi do wyboru, szansa, ze odgadnie prawidłowa odpowiedz wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\).
Jakie jest prawdopodobieństwo warunkowe tego, ze student znał odpowiedz na dane pytanie, jeśli nie popełnił w tym pytaniu błędu?

zad 2.
Dana jest pełna talia 52 kart od 2 (dwójek) do A (asów) we wszystkich czterech kolorach. Załóżmy, ze talie potasowano, a następnie rozpoczęto odkrywanie kart, jedna po drugiej.
1. Jaki jest średni koszt (tj. liczba odkrytych kart) natrafienia na dame trefl?
2. Jaki jest średni koszt natrafienia na dame trefl, jeśli wiadomo, ze pierwszych 13 kart jest w kolorze trefl lub pik?

Prosiłbym o pomoc

Poprawiłam temat. Następnym razem zastanów się chwilę, nazywając post. Kasia

[jovante]

ad 1)

\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}}=\frac{5}{6}}\)

ad 2a)

\(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{52}i}{52}=26\frac{1}{2}}\)

ad 2b)

\(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{13}i{25 \choose 12}12!39!+\sum_{i=14}^{52}i{25 \choose 13}13!38!}{{26 \choose 13}13!39!}=20}\)

[Omnius]

Dzięki za odpowiedź, czy mógłbyś mi tylko wytłumaczyć skąd wziąłeś ten ładny wzorek na 2b? :] Byłbym bardzo wdzięczny.

[logowy]

Witam,

chciałem zapytać o zadanie pierwsze, a mianowicie w jaki sposób można je przedstawić za pomocą grafu

Pozdrawiam-- 7 sty 2010, o 23:07 --oczywiście chodziło mi o drzewo stochastyczne...

[bigtom6666]

w odp na 2)a jest błąd. Nie możesz liczyć z takim samym prawdopodobieństwem w każdym kroku ( \(\displaystyle{ \frac{1}{52}}\) ).
Jeśli losujesz 1 kartę to koszt \(\displaystyle{ X_{1}}\) = 1 ; dla P( \(\displaystyle{ X_{1}}\) ) = \(\displaystyle{ \frac{1}{52}}\) ;
dla drugiej karty - koszt odkrycia kart wynosi 2, a jego p-o to już P( \(\displaystyle{ X_{2}}\) ) = \(\displaystyle{ \frac{1}{51}}\) - bo losujesz już z puli umniejszonej o 1 kartę (poprzednie losowanie ) ; itd.
Czyli rysujesz sobie taką tabelkę
Dla wzoru \(\displaystyle{ E(X)=\sum_{n} X_{n}* P(X_{n})}\)
Szereg więc będzie wyglądał tak :
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{52} \frac{i}{53-i}}\) - a to Ci już tylko paluszki albo excel policzy
pozdrawiam dr Paszek x2-- 11 sty 2010, o 20:58 --

Dzięki za odpowiedź, czy mógłbyś mi tylko wytłumaczyć skąd wziąłeś ten ładny wzorek na 2b? :] Byłbym bardzo wdzięczny.

Rozpracujmy więc wzorek na części elementarne:
Licznik składa się z dwóch sum: tj. w pierwszym wypadku, kiedy dama jest w pierwszej 13 i w drugim
kiedy mieści się między 14 a 52 kartą.
więc:
1 suma w liczniku -> [przypadek, że dama w pierwszej 13-stce], to składowa:
\(\displaystyle{ \sum_{1}^{13}i}\) - to przypadek rotacji damy na poz.1 do 13
pomnożony przez
\(\displaystyle{ {25 \choose 12}}\) - ilość wszystkich możliwych rozstawień 12 czarnych kart (13 mniej jedna dama) z puli 25 (26 czarnych mniej dama;)
pomnożonych przez 36!, tj. permutację [wszystkie możliwości rozstawienia kart na pozycji 14-52]
pomnożony przez 12! tj. na każdej pozycji (1..13) damy - przy permutacji czarnych kart (1..13), pozostałe 12! to zmiana kart czarnych z puli (14..52) z czarnymi w puli (1..13 bez damy oczywiście).
2 suma w liczniku -> [przypadek, że dama w drugiej części <14..52>], to składowa:
\(\displaystyle{ \sum_{14}^{52}i}\) - przypadek rotacji damy na poz.14 do 52
pomnożony przez
\(\displaystyle{ {25 \choose 13}}\) - ilość wszystkich możliwych roztawień 13-stu pierwszych czarnych kart (losowych, ale bez damy) z puli 25 (wiemy, że dama jest gdzieś dalej za 13-stą pozycją;)
pomnożony przez
13! - liczba zmian czarnych kart z puli 14..52 na pulę 1..13
pomnożony przez
38! - permutacja <wszystkie możliwe rozstawienia> ostatnich 39 kart <wiedząc, gdzie po kolei stawiamy damę>

oczywiście, wszystko dzielimy przez liczbę wszystkich możliwych rozstawień, pamiętając o zasadzie, że pierwsza trzynastka, to tylko czarne kolory,a dama już nas nie interesuje, tak więc:
\(\displaystyle{ {26 \choose 13}}\) - wybieramy wszystkie możliwe 13-pozycyjne układy z puli 26 czarnych kart;
39! - wszystkie możliwe układy puli [14..52]
13! - zamiana między sobą czarnych kart z jednej puli na drugą.
to chyba wszystko
pozdro dla wiadomo kogo
może jutro mi to zadanie zaliczy na konsultacjach
tylko nigdy nie wiem, czy mam mówić treft czy godać krojc

[marot]

2a)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{52} \frac{i}{53-i}}\)
czy aby na pewno.?
wynikało by z tego że trzeba wykonać średnio 188 operacji

przepraszam za *bump* ale rozwiązuję właśnie to samo zadanie