odmiana paradoksu petersburskiego

[danreg87]

W pewnej odmianie p.p placimy 20 zl za udzial w grze i rzucamy az do momentu wyrzucenia reszki. Rzucamy 19 razy. Jesli wygramy po 1szym rzucie dostajemy 2 zl, jesli po drugim 4, jesli po trzecim 8 itp. Jesli dotrzemy do 20 kolejki wygrywamy \(\displaystyle{ 2^{20}}\) zł

a) niech X oznacza zmeinna losowa wysokosci wygranej ( kwota do wygrania minus stawka )
E(X) = ?

b) niech Y to z.losowa lcizby rzutow w danej rozgrywce
E(Y) = ?
c) p-stwo ze wygramy wiecej niz 0 zł w grze

Ad b)

\(\displaystyle{ E(X)=1*\frac{1}{2} + 2*(\frac{1}{2})^2+3*\frac{1}{2})^3+...+19*(\frac{1}{2})^{19}}\)
Wylączamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) przed nawias i mozemy skorzystac z wzoru

\(\displaystyle{ 1+2x+3x^2+.....nx^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}}\)

Da się jakos uzasadnić ten wzór ( zapewne indukcyjnie ) moze jest gdzies 'gotowiec' ?

w wynku czego E(Y)=2

a jak ruszyc pozostale?

[ Dodano: 9 Kwietnia 2008, 18:03 ]
c) P(x>0) = 1-P(x<0) wiec latwe ale a) nadal jest zastanawiajacy

[Wasilewski]

Ten wzór jest prawdziwy jedynie dla nieskończonego, zbieżnego szeregu . A wynika on z tego:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} kx^{k-1} = \sum_{k=0}^{\infty} ft(x^k\right)' = ft(\frac{1}{1-x}\right)' = \frac{1}{(1-x)^2}}\)
W tym wypadku można postępować podobnie, ale należy skorzystać ze wzoru na sumę częściową szeregu geometrycznego.

[danreg87]

czyli jak w tym przypadku poradzic sobie lepiej?

suma czesciowa tzn? po q jest zmienne wiec wzor \(\displaystyle{ Sn=\frac{a_1}{1-q}}\) sie nie sprawdzi....

[ Dodano: 9 Kwietnia 2008, 22:30 ]
swoja droga zastanawia mnie trzecie przesztalcenie we wzorze powyzej, moglby ktos wyjasnic?