Urna - sześć kul białych, cztery czarne - losujemy trzy.

[ślimak]

Z urny zawierającej sześć kul białych i cztery kule czarne losujemy kolejno bez zwracania trzy kule. Następnie rzucamy monetą tyle razy, ile jest kul białych wśród trzech wylosowanych. Obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej raz orła.

Temat "Prawdopodobieństwo" faktycznie wiele mówi w tym dziale.
Kasia

[fafner]

hmm dziwne zadanie, jak chce się obliczyć normalnie to p(a) jest wieksze od 1... mysle ze lepiej rozwiazac to metodą kombinacji.. więc jak wylosujemy 3 białe to kombinacji jest-
\(\displaystyle{ \frac{6!}{3!} =120}\)
później mamy 3 rzuty monetą czyli 8 kombinacji z czego 7 jest sprzyjających
\(\displaystyle{ 120* \frac{8}{ \frac{8}{7} } =840}\)
jezeli wyjmiemy 2 kule białe
\(\displaystyle{ {6 \choose 2} *2*4=120}\)

\(\displaystyle{ 120*4*3:4 =360}\)
i jak wyjmiemy 1 kule białą..

\(\displaystyle{ 6* {4 \choose 2} *2=36

36*2*1:2=36}\)
wszystkie mozliwosci=720(kombinacja bez powtorzen)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{120+360+36}{720} =71 }\)mam nadzieje że zrobiłem je dobrze

[ślimak]

Jednak po drodze popełniasz błędy, "...losujemy kolejno bez zwracania..."


Według mnie rozwiązanie powinno wyglądać:
Prawdopodobieństwo wylosowania 1 kuli, 2 i 3 kul białych jest odpowiednio równe \(\displaystyle{ \frac{6 4 3 3}{720}}\), \(\displaystyle{ \frac{6 5 4 3}{720}}\) i \(\displaystyle{ \frac{6 5 4}{720}}\)
Zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ 1-\big( \frac{6 4 3 3}{720}\cdot\frac{1}{2}+\frac{6 5 4 3}{720}\cdot \frac{1}{2^2}+\frac{6 5 4}{720} \frac{1}{2^3}\big)}\)

Prosiłbym o sprawdzenie, gdyż podobno moje rozwiązanie jest błędne.

[fafner]

ślimak, tobie wychodzi dokładnie 70,4166666666667% więc b.blisko byłem, może byś mi wzkazał dokładnie gdzie popełniłem błąd ja jakoś nie mogę go dostrzec :/

[ Dodano: 4 Kwietnia 2008, 20:16 ]
a może tak-
\(\displaystyle{ p(a)= \frac{6*5*4*7}{10*9*8*8} + \frac{6*5*1*3}{10*9*2*4}*3 + \frac{6*4*3*1}{10*9*8*2}*3 =0,6708(3)}\)
to *3 wzieło się tam z tego względu że możemy wylosowac w 3 rozne sposoby-
CBB
BCB
BBC
co samo jak losujemy 1 kulę białą (B-kula biała, C-kula czarna)

[Janek Kos]

Ostatecznie poprawny jest ostatni wynik.
Oznaczmy przez:
\(\displaystyle{ P_0,\ P_1,\ P_2,\ P_3}\) odpowiednio prawdopodobieństwa zdarzeń "wylosowano 0/1/2/3 białe kule", wtedy:

\(\displaystyle{ P_0=\frac{ {6 \choose 0} {4 \choose 3}}{ {10 \choose 3}}=\frac{4}{120}\\
P_1=\frac{ {6 \choose 1} {4 \choose 2}}{ {10 \choose 3}}=\frac{36}{120}\\
P_2=\frac{ {6 \choose 2} {4 \choose 1}}{ {10 \choose 3}}=\frac{60}{120}\\
P_3=\frac{ {6 \choose 3} {4 \choose 0}}{ {10 \choose 3}}=\frac{20}{120}}\)

Niech teraz \(\displaystyle{ P(O)}\) oznacza p-stwo wyrzucenia przynajmniej jednego orła. Wtedy \(\displaystyle{ P(O)=1-P(O')}\), gdzie \(\displaystyle{ O'}\) jest zdarzeniem, że nie wyrzucono żadnego orła.

\(\displaystyle{ P(O')=1 P_0+\frac{1}{2} P_1+\frac{1}{4} P_2+\frac{1}{8} P_3=\frac{79}{240}}\)

Stąd \(\displaystyle{ P(O)=1-P(O')=\frac{161}{240}}\)

[ślimak]

ok, jeszcze mam jedno pytanko
dlaczego ze zdania ...losujemy kolejno bez zwracania... wynika że kolejność losowania nie ma znaczenia, czyli interesują nas tylko zbiory?

[Janek Kos]

To nie wynika ze zdania "(...) losujemy kolejno bez zwracania" ale z tego, że kule są nierozróżnialne.