Rokład dwumianowy a rozkład Poissona

[Wasilewski]

Niech \(\displaystyle{ n p_n \lambda}\)
Niech \(\displaystyle{ X_n}\) będzie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym, a Y - zmienną losową o rozkładzie Poissona. Udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } P(X_n=k) = P(Y=k)}\)
O ile dobrze rozumiem, to jeśli lambda jest ustalonym parametrem, a n zbiega do nieskończoności, to można uznać, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } p_n = 0}\)
Rozpiszmy sobie tę granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } p^{k} (1-p)^{n-k} = \lim_{n\to } \frac{n!}{(n-k)! n^{k}} \frac{1}{k!} (np)^{k} (1 - p)^{-\frac{1}{p}^{(-(n-k)p)}} = \frac{\lambda^{k}}{k!} \lim_{n\to } (1 - p)^{-\frac{1}{p}^{(-np+ kp)}} = \frac{\lambda^{k}}{k!} e^{-\lambda}}\)
Oczywiście po drodze korzystałem z tego, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } \frac{n!}{(n-k)! n^{k}} = 1 \\
(np)^k \lambda^{k}}\)
Tak to należało zrobić?
I jeszcze jedno: mi rozkład zwany przez Wikpedię dwumianowym został przedstawiony jako rozkład Bernoulliego, co według wyżej wymienionego źródła jest często popełnianym błędem. Zatem jaka jest prawda?

[Lukasz_C747]

Miałem to jako twierdzenie zwane przybliżeniem Poissona. W założeniach było stwierdzenie:
"Niech \(\displaystyle{ n->\infty, p_{n}->0}\) tak, aby \(\displaystyle{ n*p_{n}->\lambda>0}\)."
Zatem śmiem twierdzić, że twoje założenie o p było poprawne. Dowód przeprowadzaliśmy inaczej, ale i w twoim nie widzę błędu (jeśli jednak chcesz to przepisze w wolnej chwili).
U mnie na przedmiocie rozkład dwumianowy zwaliśmy tylko rozkładem Bernoulliego - w zasadzie ta pierwsza nazwa nie padła, jak sobie dobrze przypominam. Podejrzewam więc, że jednak można używać obu nazw, tym bardziej, że nawet jeśli traktować je tak jak mówi Wiki, to są one mocno ze sobą powiązane.

[Wasilewski]

Jeśli nie sprawi Ci to kłopotu, to bardzo chętnie poznam inną metodę.

[Emiel Regis]

1. Gdy n zbiega do nieskończoności i chcesz aby iloczyn np zbiegał do stałej to p nie ma innego wyjścia jak w odpowiednim tempie zbiegać do zera. Dla formalności należałoby pisać \(\displaystyle{ p_n}\) gdyż wtedy to już nie jest stała a ciąg który się zmienia wraz z n.

2. Z nazewnictwem jest różnie nawet wśród autorów książek. Albo autor uznaje że określenia rozkładów Bernoulliego i dwumianowy to synonimy albo stosuje konwencję:
\(\displaystyle{ X B(n,p) \\ Y B(1,p)}\)
przy takich oznaczeniach X ma rozkład dwumianowy a Y jako jego szczególny przypadek ma rozkład Bernoulliego gdzie tylko raz wykonujemy doswiadczenie (tzw. próba Bernoulliego). Tak własnie jest przyjete na wikipedii. Oczywiscie literka B nie jest od słowa Bernoulli a od słowa "binomial" czyli dwumianowy.
Osobiście uważam że nieco lepszym jest określenie dwumianowy, jako szczególny przypadek rozkładu wielomianowego. Poczytaj sobie o nim to zobaczysz analogię.

3. Co do samej granicy to wiele sie tu w zasadzie nie wymyśli innego, kwestia zapisu i grupowania wyrazów. Ja bym to tak zapisał:
\(\displaystyle{ {n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}=\frac{n!}{(n-k)!n^k}(np)^k(1-p)^{-k}(1-\frac{np}{n})^n=\\ \frac{n-k-1}{n} \ldots \frac{n}{n} (1-p)^{-k} \frac{(np)^k}{k!} (1-\frac{np}{n})^n \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}}\)

Sądzę ze widzisz czemu to wszystko tak zbiega, pierwsze k+1 czynników zbiega do 1, przedostatni oraz ostatni tworzą nam granicę.