Rozkład zmiennej Y=sin(X)

[Emiel Regis]

Niech zmienna losowa X ma dystrybuantę F oraz gęstość f.
\(\displaystyle{ Y=sin(X)}\).
Znaleźć dystrybuantę oraz gęstość zmiennej Y.

[jovante]

\(\displaystyle{ F_Y(y)=P(Y\leqslant y)=P(sinX qslant y)=P(X qslant arcsiny)=F_X(arcsiny)}\)
\(\displaystyle{ f_Y(y)=\frac{dF_Y(y)}{dy}=\frac{f_X(arcsiny)}{\sqrt{1-y^2}}}\)

[Emiel Regis]

\(\displaystyle{ P(sinX qslant y)=P(X qslant arcsiny)}\)

Z czego to wynika?
Sinus na całej osi rzeczywistej nie jest różnowartościowy czyli nie ma funkcji odwrotnej na R.
np niech \(\displaystyle{ x=10\pi, y=0}\), wtedy wg Twoich rachunków:
\(\displaystyle{ P(sin(10\pi) qslant 0)=P(10\pi qslant arcsin0)}\)
co jest nieprawdziwe.

[Janek Kos]

Wydaje mi się, że z grubsza będzie to jakieś takie rozwiązanie:
\(\displaystyle{ F_Y= \begin{cases} 0\ \ \ \ \ dla\ \ \ \ y1 \end{cases}}\)

a (*) będzie sumą miar czerwonych odcinków na rysunku (niebieska prosta, to przykładowy y):

AU

ac184d072d8901a9med.jpg (24.4 KiB) Przejrzano 328 razy

tzn. obliczając:

\(\displaystyle{ C=arcsiny,\ \ \ A=\pi - arcsiny\ \ \ B=2\pi+arcsiny\ ...}\)

dostaję, że:

\(\displaystyle{ (*)=P(Y\leq y)=P\bigg(x\in \bigcup_{k\in Z}^{}(-\pi-arcsiny+2k\pi;arcsiny+2k\pi]\bigg) =\\= \sum_{k\in Z}^{}F_X(arcsiny+2k\pi)-F_X(-\pi-arcsiny+2k\pi)}\)

To by opisywało dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ Y}\) zaś jeśli idzie o gęstość to dla \(\displaystyle{ y\in [-1,1]}\) po prostu bym zróżniczkował.