Udowodnij własność

[Simong]

Wykazać że dla dowolnych trzech zdarzeń A, B , C zachodzi wzór:

\(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)=P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(C \cap A) + P(A \cap B \cap C)}\)

pewnie gdzieś było, więc proszę w takim wypadku o odsyłacz.


Poprawiłem zapis.
Szemek

[Szemek]

W rozwiązaniu korzystam z:
własności:
\(\displaystyle{ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}\)
działań na zbiorach:
\(\displaystyle{ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \\
(A \cap B) \cap (A \cap C) = A \cap B \cap C}\)

Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ P[A \cup (B \cup C)] = P(A) + P(B \cup C) - P[A \cap (B \cup C)] = \\
= P(A) + P(B) + P(C) - P(B \cap C) - P[(A \cap B) \cup (A \cap C)] = \\
= P(A) + P(B) + P(C) - P(B \cap C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) + P[(A \cap B) \cap (A \cap C)] = \\
= P(A) + P(B) + P(C) - P(B \cap C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C)}\)

[Simong]

dzięki, o ty samym myślałem, tylko nie jestem pewny czy można udowadniać twierdzenia z twierdzeń, bo przeż twierdzenie to już wypowiedź która wymaaga dowodu
...

[Szemek]

ja nie widzę problemu,
wyprowadzasz dowód pomocniczo dla jednej własności i później z niej korzystasz w dowodzie tej pierwotnej

zapraszam do kompendium:
Dowód własności \(\displaystyle{ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}\)
https://matematyka.pl/61476.htm#5