Liczba dzielników

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
kisiu111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 17 lut 2007, o 16:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Far Far Away
Podziękował: 2 razy

Liczba dzielników

Post autor: kisiu111 »

Spośród liczb pierwszych od 1 do 50 losujemy bez zwracania 2 liczby: m i n. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba \(\displaystyle{ m*(n+1)^{2}}\) ma dokładnie 30 dzielników
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Liczba dzielników

Post autor: Kartezjusz »

Liczymy 1 liczbę samą siebie?
kisiu111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 17 lut 2007, o 16:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Far Far Away
Podziękował: 2 razy

Liczba dzielników

Post autor: kisiu111 »

Nie rozumiem twojego pytaia Kartezjusz
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Liczba dzielników

Post autor: Kartezjusz »

Zapomniałem o "i" Czy do dzielników wlicza się 1 i rozważaną liczbę?

[ Dodano: 28 Marca 2008, 10:58 ]
Zapomniałem o "i" Czy do dzielników wlicza się 1 i rozważaną liczbę?

[ Dodano: 28 Marca 2008, 10:58 ]
Zapomniałem o "i" Czy do dzielników wlicza się 1 i rozważaną liczbę?

[ Dodano: 28 Marca 2008, 10:58 ]
Zapomniałem o "i" Czy do dzielników wlicza się 1 i rozważaną liczbę?
kisiu111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 17 lut 2007, o 16:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Far Far Away
Podziękował: 2 razy

Liczba dzielników

Post autor: kisiu111 »

1 tez wliczasz do dzielników
Linka87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 18 lut 2007, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 4 razy

Liczba dzielników

Post autor: Linka87 »

Mogę dać tylko wyniki, które może kogoś nakierują na rozwiązane ( obliczone przez program napisany w C# )

Liczby pierwsze: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Możliwe kombinację tego iloczynu(240 mozliwosci):
8 , 9 , 12 , 16 , 20 , 27 , 28 , 32 , 36 , 44 , 45 , 52 , 63 , 64 , 68 , 72 , 76 , 80 , 92 , 99 , 108 , 112 , 116 , 117 , 124 , 128 , 144 , 148 , 153 , 164 , 171 , 172 , 176 , 188 , 192 , 196 , 207 , 208 , 252 , 261 , 272 , 279 , 288 , 304 , 320 , 324 , 333 , 368 , 369 , 387 , 392 , 396 , 400 , 423 , 432 , 464 , 468 , 496 , 576 , 588 , 592 , 612 , 648 , 656 , 684 , 688 , 704 , 720 , 752 , 800 , 828 , 832 , 900 , 972 , 980 , 1008 , 1024 , 1044 , 1088 , 1116 , 1152 , 1200 , 1216 , 1332 , 1372 , 1444 , 1472 , 1476 , 1548 , 1620 , 1692 , 1728 , 1764 , 1800 , 1856 , 1872 , 1936 , 1984 , 2000 , 2048 , 2156 , 2268 , 2304 , 2368 , 2448 , 2624 , 2700 , 2736 , 2752 , 2800 , 2880 , 2888 , 3008 , 3072 , 3312 , 3332 , 3528 , 3564 , 3724 , 3872 , 4032 , 4176 , 4212 , 4332 , 4400 , 4464 , 4500 , 4508 , 4608 , 5120 , 5200 , 5292 , 5328 , 5684 , 5808 , 5904 , 6076 , 6156 , 6192 , 6300 , 6336 , 6768 , 6800 , 6912 , 7168 , 7220 , 7252 , 7452 , 7488 , 8036 , 8428 , 8820 , 9200 , 9212 , 9396 , 9680 , 9792 , 9900 , 10044 , 10108 , 10944 , 11264 , 11520 , 11600 , 11700 , 11988 , 12348 , 12400 , 13284 , 13312 , 13552 , 13932 , 14800 , 15228 , 15300 , 15884 , 16128 , 16400 , 16704 , 17100 , 17200 , 17408 , 17856 , 18772 , 18800 , 19404 , 19456 , 20700 , 21296 , 21312 , 22932 , 23552 , 23616 , 24548 , 24768 , 25168 , 25344 , 27072 , 27436 , 27900 , 29696 , 29952 , 29988 , 32912 , 33212 , 33300 , 33516 , 36784 , 36900 , 37888 , 38700 , 39168 , 40572 , 41876 , 41984 , 42300 , 43776 , 44032 , 44528 , 44764 , 48128 , 51156 , 52992 , 54684 , 56144 , 59204 , 60016 , 62092 , 65268 , 66816 , 67868 , 71424 , 71632 , 75852 , 79376 , 82908 , 85248 , 90992 , 94464 , 99072

Liczby które mają 30 podzielników: (liczyłam liczbę 1 i samą siebie )
720, 1008, 1200, 1620, 1872, 2268, 2448, 2736, 2800, 3312, 3564, 4176, 4212, 4400, 4464, 4608, 5200, 5328, 5808, 5904, 6156, 6192, 6768, 6800, 7452, 9200, 9396, 9680, 10044, 11600, 11988, 12400, 13284, 13552, 13932, 14800, 15228, 16400, 17200, 18800, 25168, 32912, 36784, 44528, 56144, 60016, 71632, 79376, 90992.

i jest ich jak komputer mnie nie oszukał 49 ;]
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Liczba dzielników

Post autor: Kartezjusz »

Mam nadzieję,że na sprawdzianie kolega będzie mógł mieć komputer:-)
UNIX_admin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 185
Rejestracja: 6 maja 2006, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 32 razy

Liczba dzielników

Post autor: UNIX_admin »

na poczatek mala uwaga: liczba 1 nie jest liczba pierwsza.

w zadaniu nikt nie pyta o wartosci liczb postaci \(\displaystyle{ m(n+1)^2}\) wazna jest jedynie ich liczba (spelniajaca warunek o 30 dzielnikach) wiec zadanie mozna rozwiazac na kartce, nie jest potrzebny nawet kalkulator.

ilosc dzielnikow liczby x okresla zaleznosc:

\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{k} (a_i + 1)}\) gdzie \(\displaystyle{ x=p_{1}^{a_1}*p_{2}^{a_2}*...*p_{k}^{a_k}}\) jest rozkladem liczby x na czynniki pierwsze (faktoryzacja)

zastanowmy sie jak moze wygladac faktoryzacja liczby \(\displaystyle{ m(n+1)^2}\), gdzie m oraz n sa roznymi liczbami pierwszymi. po pierwsze (n+1) jest (prawie zawsze) liczba parzysta, a wiec w jej rozkladzie liczba 2 wystapi przynajmniej w pierwszej potedze. podniesienie (n+1) do kwadratu podwaja wszystkie wykladniki rozkladu. poniewaz miedzy 1 a 50 mamy jedynie 15 liczb pierwszych mozna szybko wypisac rozklady (n+1)^2 dla wszystkich mozliwych n. w rozkladach tych beda wystepowac glownie male liczby pierwsze {2,3,5}, a liczba roznych liczb pierwszych w rozkladach bedzie czesto rowna 2 lub 3. wszystkei wykladniki beda parzyste.

pomnozmy teraz (n+1)^2 (oraz jej rozklad) przez m rozne od n. jesli m wystapila w rozkladnie (n+1)^2 to zwiekszy o jeden odpowiedni wykladnik, jesli m nie wystapila w rozkladzie to wejdzie do niego w pierwszej potedze. istotne jest iz zawsze w rozkladzie \(\displaystyle{ m(n+1)^2}\) na czynniki pierwsze jeden czynnik bedzie w nieparzystej potedze, a wszystkei pozostale w potegach parzystych.

zajmijmy sie teraz liczba 30, mozna ja zapisac jako:
1*30
2*15
3*10
5*6
2*3*5

zatem by \(\displaystyle{ m(n+1)^2}\) miala 30 dzielnikow wykladniki w jej rozkladzie musza miec wartosci:

29 lub
1 i 14 lub
2 i 9 lub
4 i 5 lub
1 i 2 i 4

w tym przypadku wszystkie powyzsze rozklady spelniaja warunek o jednym nieparzystym wykladniki, ale dla innej liczby dzielnikow to moze byc pomocne kryterium

tera znalezy przejrzec rozklady (n+1)^2 (kazdy w dwoch wariantach) i sprawdzic, ktore z nich postadaja wykladniki w potegach jak wyzej. szybko zauwazymy, ze pasuja rozklady dla n={11,17,19} i wszystkich m spoza rozkladu (n+1)^2 (maska 1 i 2 i 4) oraz dla n=47 i m=2 (maska 2 i 9)

ostatecznie otrzymujemy 4*12+1=49 roznych par liczb n i m spelniajacych warunki zadania

liczac prawdopodobienstwo nalezy pamietac, ze kolejnosc liczb n i m na znaczenie. ostatecznie szukane p-stwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{49}{15*14}}\)
ODPOWIEDZ