12 osób, pączki, karty

[snoopy^^]

Takie ciekawe zadanka z prawdopodobieństwa, może ktoś ma jakiś pomysł jak je rozwiązać? Oto i one:

zad.1. Dwanaście osób, w tym Jan Łukasz i Mateusz, siada losowo przy okrągłym stole. Obliczyć prawdopodobieństwo, że Jan Łukasz i Mateusz usiądą jeden obok drugiego, w dowolnym porządku.

zad.2. Obliczyć prawdopodobieństwo że rozdając 12 pączków 4 osobą każda osoba dostanie przynajmniej jednego pączka.

zad.3. Z tali 52 kart wylosowano 13. jak jest szansa otrzymania dokładnie sześciu kart jednego koloru ?

Z góry dziękuję za pomoc. Pozdrawiam!:)

[Konikov]

Niech ktoś zweryfikuje te rozwiązania.

Jeśli potrzebujesz szczegółowego wytłumaczenia - pisz.

Zadanie pierwsze

• \(\displaystyle{ |\Omega| = \frac{12!}{12} = 39916800}\) (ponieważ nieważny jest obrót względny wokół stołu przy takim samym ustawieniu - wiem że skomplikowanie brzmi )
  
  \(\displaystyle{ \left| A\right| = \frac{12!}{12*3!} = 6652800}\)
  
  \(\displaystyle{ P(A) = \frac{6652800}{39916800} = 0.1(6)}\)

Zadanie drugie

• \(\displaystyle{ |\Omega| = 4 ^{12} = 16777216}\)
  
  \(\displaystyle{ |B| = 4^{12}-3^{12} = 16245775}\)
  
  \(\displaystyle{ P(B) = \frac{16245775}{16777216} = 0.968323648}\)

Zadanie trzecie

• \(\displaystyle{ |\Omega| = {52\choose 13} = 635013559600}\)
  
  \(\displaystyle{ |C| = 4* {13 \choose 6} {39 \choose 7} = 105574751568}\)
  
  \(\displaystyle{ P(C) = \frac{105574751568}{635013559600} = 0.166255901}\)

[snoopy^^]

Po pierwsze dziękuję za rozwiązanie zadań, a po drugie, to nie bardzo rozumiem rozwiązanie do zadania nr 2, mógłbyś mi to jakoś rozjaśnić...;/ pozdrawiam!

I jeszcze co do zad nr3...dlaczego mamy 4*(...)?? nie mamy tylko dwóch kolorów w kartach??

[Konikov]

W drugim zadaniu każdy pączek ma 4 możliwości gdzie trafi, a więc każdy pączek: \(\displaystyle{ 4*4*4... = 4 ^{12}}\) - stąd omega. \(\displaystyle{ A}\) to wszystkie możliwości oprócz tych, kiedy pączki zostaną rozprowadzone pośród tylko trzech osób (\(\displaystyle{ 3*3*3... = 3 ^{12}}\)).

A tzw. "kolory" w kartach są cztery: trefl, karo, kier, pik.