Witam potrzebuje pomocy w rozwiązaniu zadania
Na loterii znajduje się 100 losów, w tym 10 wygrywających. Kupujemy cztery losy. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzenia, że:
a) Trzy losy będą wygrywające;
b) Co najmniej jeden los będzie wygrywający.
loteria losowa
-
Janek Kos
- Użytkownik
- Posty: 417
- Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 98 razy
loteria losowa
\(\displaystyle{ |\Omega|= {100 \choose 4}}\)
a) A - trzy losy wygrywające
\(\displaystyle{ |A|= {10 \choose 3} {90 \choose 1}}\)
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{{10 \choose 3} {90 \choose 1}}{{100 \choose 4}}}\)
b) B - co najmniej jeden los wygrywający
\(\displaystyle{ |B|= {10 \choose 1} {90 \choose 3}+{10 \choose 2} {90 \choose 2}+{10 \choose 3} {90 \choose 1}+{10 \choose 4} {90 \choose 0}}\)
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{{10 \choose 1} {90 \choose 3}+{10 \choose 2} {90 \choose 2}+{10 \choose 3} {90 \choose 1}+{10 \choose 4} {90 \choose 0}}{{100 \choose 4}}}\)
Można też skorzystać z faktu, że:
\(\displaystyle{ P(B)=1-P(B')}\) gdzie \(\displaystyle{ B'}\) jest zdarzeniem oznaczającym "zero wygrywających losów" i wtedy:
\(\displaystyle{ P(B)=1-\frac{ {10 \choose 0} {90 \choose 4}}{{100 \choose 4}}}\)
a) A - trzy losy wygrywające
\(\displaystyle{ |A|= {10 \choose 3} {90 \choose 1}}\)
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{{10 \choose 3} {90 \choose 1}}{{100 \choose 4}}}\)
b) B - co najmniej jeden los wygrywający
\(\displaystyle{ |B|= {10 \choose 1} {90 \choose 3}+{10 \choose 2} {90 \choose 2}+{10 \choose 3} {90 \choose 1}+{10 \choose 4} {90 \choose 0}}\)
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{{10 \choose 1} {90 \choose 3}+{10 \choose 2} {90 \choose 2}+{10 \choose 3} {90 \choose 1}+{10 \choose 4} {90 \choose 0}}{{100 \choose 4}}}\)
Można też skorzystać z faktu, że:
\(\displaystyle{ P(B)=1-P(B')}\) gdzie \(\displaystyle{ B'}\) jest zdarzeniem oznaczającym "zero wygrywających losów" i wtedy:
\(\displaystyle{ P(B)=1-\frac{ {10 \choose 0} {90 \choose 4}}{{100 \choose 4}}}\)
-
koreczek
- Użytkownik
- Posty: 80
- Rejestracja: 10 lis 2006, o 09:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 28 razy
loteria losowa
wszystkich możliwości wylosowania 4 losów spośród 100 jest \(\displaystyle{ {100 \choose 4}}\)
a)musimy wylosować 3 losy spośród 10 wygrywających i 1 spośród 90 pozostałych.
czyli mamy \(\displaystyle{ {10 \choose 3}{90 \choose 1}}\) możliwości.
zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi: \(\displaystyle{ \frac{{10 \choose 3}{90 \choose 1}}{{100 \choose 4}}}\)
b) zdarzeniem przeciwnym do tego, że conajmniej jeden los będzie wygrywający jest zdarzenie polegające na tym, że żaden z losów nie będzie wygrywający. czyli że wylosujemy 4 losy spośród 90 "pustych" a takich możliwości jest \(\displaystyle{ {90 \choose 4}}\). zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi: \(\displaystyle{ 1- \frac{ {90 \choose 4}}{{100 \choose 4}}}\)
a)musimy wylosować 3 losy spośród 10 wygrywających i 1 spośród 90 pozostałych.
czyli mamy \(\displaystyle{ {10 \choose 3}{90 \choose 1}}\) możliwości.
zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi: \(\displaystyle{ \frac{{10 \choose 3}{90 \choose 1}}{{100 \choose 4}}}\)
b) zdarzeniem przeciwnym do tego, że conajmniej jeden los będzie wygrywający jest zdarzenie polegające na tym, że żaden z losów nie będzie wygrywający. czyli że wylosujemy 4 losy spośród 90 "pustych" a takich możliwości jest \(\displaystyle{ {90 \choose 4}}\). zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi: \(\displaystyle{ 1- \frac{ {90 \choose 4}}{{100 \choose 4}}}\)