zdarzenia losowe A i B...

[Kocurka]

Zdarzenia losowe A zawierajace sie w \(\displaystyle{ \Omega}\) i B zawierajace sie w \(\displaystyle{ \Omega}\) sa takie, ze:
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{4}}\), \(\displaystyle{ P(B')= \frac{2}{3}}\), \(\displaystyle{ P(A \cap B)= \frac{1}{5}}\)

Oblicz prawdopodobienstwo \(\displaystyle{ P(A' \cap B')}\) oraz \(\displaystyle{ P(A'|B)}\). Zbadaj czy A' i B' sa zdarzeniami niezaleznymi.

Z góry dziękuję za pomoc =]

[Szemek]

\(\displaystyle{ P(B)=1-P(B') \\
P(B)=\frac{1}{3}}\)
Z własności prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\
P(A\cup B)=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5} \\
P(A\cup B)=\frac{15+20-12}{60} \\
P(A\cup B)=\frac{23}{60}}\)
\(\displaystyle{ P[(A\cup B)']=1-P(A\cup B) \\
P[(A\cup B)']=\frac{37}{60}}\)
z prawa de Morgana:
\(\displaystyle{ P[(A\cup B)']=P(A'\cap B') \\
P(A'\cap B')=\frac{37}{60}}\)

[ Dodano: 1 Marca 2008, 23:00 ]
\(\displaystyle{ P(A'|B)=\frac{P(A'\cap B)}{P(B)}}\)

\(\displaystyle{ (A'\cap B) \cup (A\cap B) = B \\
P(A'\cap B) + P(A\cap B) = P(B) \hbox{, bo } (A'\cap B) \cap (A\cap B) = \varnothing\\
P(A'\cap B) = P(B) - P(A\cap B) \\
P(A'\cap B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \\
P(A'\cap B) = \frac{5-3}{15} \\
P(A'\cap B) = \frac{2}{15}}\)

\(\displaystyle{ P(A'|B)=\frac{P(A'\cap B)}{P(B)} \\
P(A'|B)= \frac{\frac{2}{15}}{\frac{1}{3}} \\
P(A'|B)= \frac{2}{5}}\)

[ Dodano: 1 Marca 2008, 23:04 ]
\(\displaystyle{ P(A')=1-P(A) \\
P(A')=\frac{3}{4}}\)
zdarzenia niezależne spełniają warunek
\(\displaystyle{ P(A'\cap B')=P(A')\cdot P(B')}\)

\(\displaystyle{ P(A'\cap B')=\frac{37}{60} \\
P(A')\cdot P(B')=\frac{3}{4} \frac{2}{3} \\
P(A')\cdot P(B')=\frac{1}{2} \\
P(A'\cap B') P(A')\cdot P(B')}\)
Zdarzenia nie są niezależne.