Zbieżność według rozkładu

[bartm]

Witam,
Przygotowuję się do egzaminu z Rachunku prawdopodobieństwa i robię zadania z poprzednich lat. Mam problem z jednym, następującym:

Niech \(\displaystyle{ X_{1}, X _{2}, \ldots}\) będą niezależnymi nieujemnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ [0,5]}\). Wykaż, że zmienne losowe

\(\displaystyle{ Z_{n}=n\min(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n})}\)

zbiegają według rozkładu i znajdź rozkład graniczny.

Ja rozwiązuję zadanie w ten sposób:
Funkcja charakterystyczna \(\displaystyle{ Z_{n}}\) to:

\(\displaystyle{ \varphi_{Z_{n}}(t)=\mathbb{E}e ^{itZ_{n}} = \mathbb{E}e ^{itn\min(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n})}=\varphi_{\min(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n})}(tn)=*}\) .

Niech \(\displaystyle{ j}\) będzie takie, ze \(\displaystyle{ X_{j}=\min(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n})}\).
Wtedy:

\(\displaystyle{ *=\varphi_{X_{j}}(tn) = \frac{e ^{5itn} -1 }{5itn} \longrightarrow_{n\to } }\)

Co robię źle? Gdyby to zbiegało do funkcji ciągłej w zerze, mógłbym skorzystać z twierdzenia Levy-Cramera i wykazać, że istnieje rozkład graniczny.

Dzięki za pomoc.

[Emiel Regis]

\(\displaystyle{ X_{j}=\min(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n})}\).
Wtedy:

\(\displaystyle{ *=\varphi_{X_{j}}(tn) = \frac{e ^{5itn} -1 }{5itn}}\)

Jak dla mnie tutaj jest kłopot, owszem da się dobrać j że Twoja zmienna będzie najmniejszą jednak wypada znaleźć rozkład minimum tego wektora - a on już nie musi (zapewne nie jest jednostajny).
Ja bym to zadanie nieco inaczej zrobił. Od razu wziąść się za szukanie rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ Z_n}\), oczywiscie najwygodniej jest to zrobić przez dystrybuantę. A potem znaleźć granicę otrzymanego ciągu dystrybuant. Jeśli granica także jest dystrybuantą to faktycznie rozkład graniczny istnieje, łatwo też wtedy odtworzyć np gęstość owego rozkładu.
Myślę że już poradzisz sobie.