Mam jeszcze takie dwa zadania:
1.Jeżeli n rozróżnialnych kul rozmieszczono losowo (każde rozmieszczenie jest jednakowo prawdopodobne) w n pudełkach, to jakie jest prawdopodobieństwo, że:
(a) nie ma pustych pudełek;
(b) dokładnie jedno pudełko jest puste?
2.Jeżeli r nierozróżnialnych kul rozmieszczono losowo (każde rozmieszczenie jest jednakowo prawdopodobne)
w n pudełkach, to jakie jest prawdopodobieństwo, że:
(a) ustalone pudełko zawiera dokładnie k kul \(\displaystyle{ (k qslant r);}\)
(b) dokładnie m pudełek pozostało pustych \(\displaystyle{ (m < n, r qslant n - m);}\)
(c) w każdym pudełku są co najmniej dwie kule \(\displaystyle{ (r qslant 2n).}\)
Trochę dziwne, bo nie ma tutaj żadnych liczb, tylko wszystko na literkach
umieszczanie kul w pudełkach
-
Tormoz
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 16 gru 2007, o 15:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 9 razy
umieszczanie kul w pudełkach
1.
a)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=n^n}\)
\(\displaystyle{ A}\)- nie ma pudełek pustych.
Kule są rozróżnialne, więc:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=n!}\)
Czyli szukane prawdopodobieństwo wynosi:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{n!}{n^n}}\)
b)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=n^n}\)
\(\displaystyle{ A}\)- dokładnie jedno pudełko jest puste.
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=n\cdot (n-1)\cdot (n-1)!}\)
\(\displaystyle{ (n-1)\cdot (n-1)!}\), bo pierwsze \(\displaystyle{ (n-1)}\) kul możemy rozmieścić na \(\displaystyle{ (n-1)!}\) sposobów, bo kule są rozróżnialne i ostatnią kulę możemy rozmieścić na \(\displaystyle{ (n-1)}\) sposobów. Pozostałe puste pudełko możemy rozmieścić na \(\displaystyle{ n}\) sposobów. Można też prościej. Pierwsze \(\displaystyle{ n-1}\) kul można rozmieścić na \(\displaystyle{ n!}\) sposobów. A ostatnią kulę można rozmieścić na \(\displaystyle{ n-1}\) sposobów. Czyli wszystkich rozmieszczeń jest \(\displaystyle{ n!\cdot (n-1)}\).
Czyli szukane prawdopodobieństwo wynosi:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-1)!}{n^n}=\frac{n!\cdot (n-1)}{n^n}}\)
a)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=n^n}\)
\(\displaystyle{ A}\)- nie ma pudełek pustych.
Kule są rozróżnialne, więc:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=n!}\)
Czyli szukane prawdopodobieństwo wynosi:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{n!}{n^n}}\)
b)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=n^n}\)
\(\displaystyle{ A}\)- dokładnie jedno pudełko jest puste.
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=n\cdot (n-1)\cdot (n-1)!}\)
\(\displaystyle{ (n-1)\cdot (n-1)!}\), bo pierwsze \(\displaystyle{ (n-1)}\) kul możemy rozmieścić na \(\displaystyle{ (n-1)!}\) sposobów, bo kule są rozróżnialne i ostatnią kulę możemy rozmieścić na \(\displaystyle{ (n-1)}\) sposobów. Pozostałe puste pudełko możemy rozmieścić na \(\displaystyle{ n}\) sposobów. Można też prościej. Pierwsze \(\displaystyle{ n-1}\) kul można rozmieścić na \(\displaystyle{ n!}\) sposobów. A ostatnią kulę można rozmieścić na \(\displaystyle{ n-1}\) sposobów. Czyli wszystkich rozmieszczeń jest \(\displaystyle{ n!\cdot (n-1)}\).
Czyli szukane prawdopodobieństwo wynosi:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-1)!}{n^n}=\frac{n!\cdot (n-1)}{n^n}}\)