Rozkład zero jedynkowy
-
ewelkaaa
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 11 paź 2006, o 21:06
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: poznan
- Podziękował: 16 razy
Rozkład zero jedynkowy
Niech \(\displaystyle{ X1,X2...;Xn}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie zero-jedynkowym tzn. \(\displaystyle{ P(Xi=1)=p}\). Obliczyć rozkład prawdopodobieństwa, wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej:\(\displaystyle{ X1*...*Xn.}\)
-
Janek Kos
- Użytkownik
- Posty: 417
- Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 98 razy
Rozkład zero jedynkowy
Ta zmienna losowa również będzie miała rozkład dwupunktowy.
Niech:
\(\displaystyle{ Z=X_1*X_2*...*X_n= \prod_{i=1}^{n}X_i}\)
wtedy
\(\displaystyle{ Z= \begin{cases} 1\ \ \ z\ prawdopodobienstwem\ p^n \\ 0\ \ \ z\ prawdopodobienstwem\ 1-p^n \end{cases}}\)
To raczej oczywiste ale jeśli nie, to \(\displaystyle{ P(Z=1)=P(X_1*X_2*...X_n=1)=P(X_1=1,X_2=1,...,X_n=1)=P(X_1=1)P(X_2=1)...P(X_n=1)=p^n}\)
Zero przyjmuje w przeciwnym razie.
\(\displaystyle{ E[Z]=1*p^n+0*(1-p^n)=p^n}\)
\(\displaystyle{ E[Z^2]=p^n}\)
\(\displaystyle{ Var[Z]=E[Z^2]-(E[Z])^2=p^n-p^{2n}=p^n(1-p^n)}\)
Niech:
\(\displaystyle{ Z=X_1*X_2*...*X_n= \prod_{i=1}^{n}X_i}\)
wtedy
\(\displaystyle{ Z= \begin{cases} 1\ \ \ z\ prawdopodobienstwem\ p^n \\ 0\ \ \ z\ prawdopodobienstwem\ 1-p^n \end{cases}}\)
To raczej oczywiste ale jeśli nie, to \(\displaystyle{ P(Z=1)=P(X_1*X_2*...X_n=1)=P(X_1=1,X_2=1,...,X_n=1)=P(X_1=1)P(X_2=1)...P(X_n=1)=p^n}\)
Zero przyjmuje w przeciwnym razie.
\(\displaystyle{ E[Z]=1*p^n+0*(1-p^n)=p^n}\)
\(\displaystyle{ E[Z^2]=p^n}\)
\(\displaystyle{ Var[Z]=E[Z^2]-(E[Z])^2=p^n-p^{2n}=p^n(1-p^n)}\)