Czarna kula

[Boch3nSynBoga]

W jednej urnie jest 6 białych i 6 czarnych kul, w dwóch urnach- po 4 czarne i 8 białych, a w trzech pozostałych po 3 białe i 9 czarnych kul. Wybrano losowo urnę, a z niej 1 kulę. Wylosowana kula okazała się czarna.
Oblicz prawdopodobieństwo, że pochodzi ona z urny zawierającej 9 kul czarnych.

Proszę o potwierdzenie moich przypuszczeń, albo poprawienie mnie.
Według mnie, Skoro czarna kula jest już wylosowana to jedyny problem, który musimy rozważyć to wybór urny. Wiemy, że są 3 urny, w których jest 9 kul czarnych. Wszystkich urn jest 6. Mamy policzyć prawdopodobieństwo, że ta czarna kula pochodzi z jednej z tych trzech urn więc nasze P(A)=3/6=1/2. I według mnie to jest wynik. Jednakże jest to zadanie z zestawów maturalnych, za które jest 6 pkt. I pytam się gdzie tutaj można otrzymać 6 pkt. za takie proste rachunki?
Proszę o poprawe jeżeli coś źle mowię, bądź też myślę;)

[Janek Kos]

No to jednak nie jest takie proste, stąd być może te 6pkt.
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ C}\) - wylosowano czarną a \(\displaystyle{ U_{nr\ urny}}\) - wylosowano odpowiednią urnę.
\(\displaystyle{ P(C|U_1)=\frac{1}{2}\ \ \ P(U_1)=\frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ P(C|U_{2,3})=\frac{1}{3}\ \ \ P(U_{2,3})=\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(C|U_{4,5,6})=\frac{3}{4}\ \ \ P(U_{4,5,6})=\frac{1}{2}}\)
Teraz pojawia się wzór na prawdopodobieństwo przyczyny (wzór Bayesa):
\(\displaystyle{ P(U_{4,5,6}|C)=\frac{P(C|U_{4,5,6})P(U_{4,5,6})}{P(C|U_1)P(U_1)+P(C|U_{2,3})P(U_{2,3})+P(C|U_{4,5,6})P(U_{4,5,6})}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ P(U_{4,5,6}|C)=\frac{\big(\frac{3}{4}\big)\big(\frac{1}{2}\big)} {\big(\frac{1}{2}\big)\big(\frac{1}{6}\big)+\big(\frac{1}{3}\big)\big(\frac{1}{3}\big)+\big(\frac{3}{4}\big)\big(\frac{1}{2}\big)} 0.6586}\)

[Boch3nSynBoga]

Musi istnieć inne- łatwiejsze rozwiązanie tego zadania. Nie przypominam sobie, żebyśmy w liceum mieli wzór Bayesa, a na lekcjach matematyki sporo robiliśmy różnych zadań. Ktoś mógłby jeszcze pomóc?

[Qń]

Musi istnieć inne- łatwiejsze rozwiązanie tego zadania.

Istotnie inne - raczej wątpię, można natomiast przeprowadzić ten sam rachunek nie wspominając o wzorze Bayesa, a jedynie o prawdopodobieństwie warunkowym. Pozostając przy oznaczeniach Janka:
\(\displaystyle{ P(U_{4,5,6}|C) = \frac{P(U_{4,5,6} \cap C)}{P(C)}}\)
Pozostaje zauważyć, że jest to dokładnie to samo co w ostatniej (przedostatniej zresztą też) linijce obliczeń Janka.

Q.

[Marrr]

Chodze do 2 klasy szkoły średniej, ja już będę pisał mature z maty, czyli tą nową
niewiem co otym myśleć ale, koledzy z klasy mówili że ma być łatwa (argumentowali tym że wcześniej maty niebyło)

Masz 6 urn, Pytanie brzmi: Jakie jest prwdp. że wylosowana kula pochodzi z tej w której stosunek czarnych do białych wynosi 3:1?

Są 3 takie urny (z 6), a urne losowano, czyli szanse że to bedzie taka jak w pytaniu to 50%

To że z tej urny wybrano, 1 kule, i że była ona czarna niema dla odpowiedzi znaczenia, ponieważ pytali oco innego.

Masz czarną kulke i 6 urn, w każdej są czarne i białe, to jaka jest szansa że ta kula pochodzi z jednej z trzech konkretnych? - 50%

Ktoś kto naprawde jest cinki, bedzie się motał, i nic nie wymyśli, a jak ktoś rozumie tekst zadania to zasługuje na 6pkt. Tak uważam, i zgadzam się z tobą boch3n.

[scyth]

Marrr, nie masz racji. Ilość kul czarnych/białych w urnach ma znaczenie. Wyobraź sobie trywialną sytuację, że masz trzy urny z samymi białymi i trzy z samymi czarnymi oraz wiemy, że wylosowano czarną. Wtedy odpowiedź na pytanie "Jakie jest prwdp. że wylosowana kula pochodzi z tej w której sa czarne" jest oczywista i wcale nie jest równa 50%.

[Marrr]

Hej! Napisałem przecież:
"Masz 6 urn, w każdej są kule czarne i białe" - a więc w 6

gdyby czarne były tylko w 5, wynik wynosiłby 3/5 - 60% (zakładając że te 3 by były bez zmian)

[scyth]

ok, no to w 3 masz 99 czarnych i 1 białą w drugich trzech odwrotnie. I wylosowano czarną. Nadal twierdzisz, że jest 50% szans na to, że była to urna z 99 czarnymi i jedną białą?

[Marrr]

TAK, wiesz dlaczego tak sądzę, ponieważ najpierw wybierano urne a liczbe to już potem,
toteż liczba kul niema wpływu na wylosowaną urne, dlatego;]

[ Dodano: 22 Lutego 2008, 18:16 ]
znaczy nie liczbe tylko kule, sorki ***

[scyth]

niestety nie masz racji, ale widzę, że lubisz upierać się przy swoim :/ przedstawiłem Ci przykłady na których widać gołym okiem, że nie jest tak jak twierdzisz. Twierdzisz co innego - możesz twierdzić co chcesz, ale niestety rachunki są dla Ciebie niesprzyjające. Z mojej strony koniec tej jałowej dyskusji.