wyznaczyć funkcje charakterystyczną ...
wyznaczyć funkcje charakterystyczną ...
wyznaczyć funkcje charakterystyczną zmiennej losowej X o rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda>0}\)
-
Janek Kos
- Użytkownik
- Posty: 417
- Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 98 razy
wyznaczyć funkcje charakterystyczną ...
W rozwiązaniu korzysta się z dwóch faktów - (1) rozwinięcia funkcji exp(x) w szereg i (2) z definicji funkcji charakterystycznej.
\(\displaystyle{ (1)\ \ \ e^x= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}}\)
\(\displaystyle{ (2)\ \ \ \varphi(t)=E[e^{itX}]}\)
X ma rozkład Poissona z par. lambda, wiec:
\(\displaystyle{ P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}}\)
Teraz można już liczyć funkcję charakterystyczną:
\(\displaystyle{ \varphi(t)=E[e^{itX}]= \sum_{k=0}^{\infty}e^{itk}P(X=k)=\sum_{k=0}^{\infty}e^{itk}e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}=\\=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(e^{it}\lambda)^k} {k!}=e^{-\lambda}e^{e^{it}\lambda}=e^{e^{it}\lambda-\lambda}=e^{-\lambda(1-e^{it})}}\)
\(\displaystyle{ (1)\ \ \ e^x= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}}\)
\(\displaystyle{ (2)\ \ \ \varphi(t)=E[e^{itX}]}\)
X ma rozkład Poissona z par. lambda, wiec:
\(\displaystyle{ P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}}\)
Teraz można już liczyć funkcję charakterystyczną:
\(\displaystyle{ \varphi(t)=E[e^{itX}]= \sum_{k=0}^{\infty}e^{itk}P(X=k)=\sum_{k=0}^{\infty}e^{itk}e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}=\\=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(e^{it}\lambda)^k} {k!}=e^{-\lambda}e^{e^{it}\lambda}=e^{e^{it}\lambda-\lambda}=e^{-\lambda(1-e^{it})}}\)