Zbiór zadań - PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
Arbooz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 357
Rejestracja: 13 gru 2004, o 20:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białogard/Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 7 razy

Zbiór zadań - PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Post autor: Arbooz » 16 maja 2005, o 17:36

ZBIÓR ZADAŃ ROZWIĄZANYCH NA FORUM - PRAWDOPODOBIEŃSTWO
(po kliknięciu na numer zadania pojawi się wątek z rozwiązaniem)

KOSTKI

1. Rzucono 10 razy kostką do gry, otrzymując trzykrotnie szóstkę. Ile wynosi prawdopodobieństwo tego, że w ostatnim rzucie wypadło sześć oczek?

2. Rzucamy 3 razy dwiema kostkami symetrycznymi do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo, że co najmniej dwa razy suma wyrzuconych oczek będzie większa od 9.

3. Wyznacz liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu losowemu \(\displaystyle{ A \cup B}\), gdzie A i B są następującymi zdarzeniami:
A - w dwukrotnym rzucie sześcienną kostką za pierwszym razem wypadła parzysta liczba oczek;
B - w dwukrotnym rzucie sześcienną kostką za drugim razem wypadła parzysta liczba oczek.

4. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie trzema symetrycznymi kostkami. Opisz zbiór "omega". Określ prawdopodobieństwo następujących zdarzeń:
a) na każdej kostce wypadła inna liczba oczek;
b) suma wyrzuconych oczek wynosi 6;
c) dwa oczka wypadły co najmniej raz.

5. Rzucamy dwukrotnie kostką. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
A - suma oczek jakie wpadną w obydwu rzutach jest równa co najmniej \(\displaystyle{ 4}\);
B - iloczyn oczek jakie wypadną w obydwu rzutach jest mniejszy od \(\displaystyle{ 25}\).

6. Rzucamy trzy razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że najmniejszą wyrzuconą liczbą oczek jest 3.

7. Rzucamy \(\displaystyle{ 7}\) razy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej dwa razy \(\displaystyle{ 6}\) oczek.


MONETY

1. Rzucamy \(\displaystyle{ 4}\) razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ 3}\) razy wypadnie orzeł.

2. Rzucamy \(\displaystyle{ 100}\) razy monetą. Oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie reszka.

3. Zdarzenie A polega na otrzymaniu co najmniej dwóch reszek w dziesięciu rzutach symetryczną monetą. Na czym polega zdarzenie przeciwne do zdarzenia A? Wyznacz liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A oraz zdarzeń sprzyjających zdarzeniu przeciwnemu do A.

4. Dokonujemy trzech rzutów monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) orzeł pojawi się 2 razy
b) orzeł pojawi się co najwyżej 2 razy
c) orzeł pojawi się co najmniej 2 razy.

5. Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucenie \(\displaystyle{ 2}\) orłów w rzucie \(\displaystyle{ 4}\) monetami czy wyrzucenie \(\displaystyle{ 3}\) orłów w rzucie \(\displaystyle{ 6}\) monet?


KULE I URNY

1. W pudelku jest \(\displaystyle{ 5}\) kul białych i \(\displaystyle{ 7}\) czarnych, wyciągamy losowo \(\displaystyle{ 2}\) kule. Oblicz prawdopodobieństwo następujących zdarzeń:
a) wyciągnięto \(\displaystyle{ 2}\) kule białe;
b) wyciągnięto \(\displaystyle{ 2}\) kule tego samego koloru;
c) wyciągnięto \(\displaystyle{ 2}\) kule różnokolorowe.

2. W urnie są \(\displaystyle{ 4}\) kule białe i \(\displaystyle{ 2}\) czarne. Losujemy jedną kulę i bez sprawdzania jej koloru, wkładamy do urny z \(\displaystyle{ 3}\) kulami białymi i \(\displaystyle{ 5}\) czarnymi. Oblicz prawdopodobieństwo, że kula wylosowana z drugiej urny jest czarna.

3. W urnie \(\displaystyle{ U_1}\) jest \(\displaystyle{ 6}\) kul czarnych i \(\displaystyle{ 4}\) białe, a w urnie \(\displaystyle{ U_2}\) jest \(\displaystyle{ m}\) kul czarnych i \(\displaystyle{ 2}\) białe. Z każdej urny losujemy jedną kulę i wkładamy do pustej urny \(\displaystyle{ U_3}\). Następnie z urny \(\displaystyle{ U_3}\)losujemy jedną kulę. Oblicz, ile musi być kul czarnych w urnie\(\displaystyle{ U_2}\), aby prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej z urny \(\displaystyle{ U_3}\) było większe od \(\displaystyle{ 0,7}\).

4. W trzech urnach znajdują się kule białe i czarne, przy czym w każdej z nich jest tyle samo kul białych co czarnych. Z każdej urny losujemy jedną kulę i, nie oglądając jej, wrzucamy do czwartej (początkowo pustej) urny. Następnie z czwartej urny losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z czwartej urny.

5. W urnie są \(\displaystyle{ 2}\) kule białe, \(\displaystyle{ 4}\) czarne i \(\displaystyle{ 5}\) zielonych. Losujemy ze zwracaniem \(\displaystyle{ 3}\) kule. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych kul:
a) nie będzie kuli czarnej
b) będzie przynajmniej jedna kula czarna
c) będzie kula czarna i zielona
d) będą kule biała i czarna

6. W urnie mamy \(\displaystyle{ 3}\) białe kule i \(\displaystyle{ 8}\) czarnych. Losujemy \(\displaystyle{ 5}\) razy po jednej kuli, zwracając za każdym razem kule do urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy \(\displaystyle{ 3}\) razy kulę białą?

7. W urnie znajduje się \(\displaystyle{ 25}\) kul: \(\displaystyle{ 10}\) kul białych, \(\displaystyle{ 9}\) czarnych, \(\displaystyle{ 6}\) zielonych. Wyjęto losowo jedną kulę i, nie oglądając jej, odłożono na bok. Oblicz prawdopodobieństwo, że za drugim razem wylosowano kule białą.

8. W urnie jest \(\displaystyle{ 10}\) zielonych i \(\displaystyle{ 8}\) żółtych kul. Na ile sposobów możemy losowo wyjąć \(\displaystyle{ 5}\) kul w tym:
a) \(\displaystyle{ 3}\) zielone i \(\displaystyle{ 2}\) żółte;
b) co najmniej \(\displaystyle{ 4}\) żółte?

9. Do urny zawierającej \(\displaystyle{ 3}\) kule wrzucono \(\displaystyle{ 1}\) kulę białą, a następnie wylosowano jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowano kulę białą, jeśli wszelkie możliwe przypuszczenia o początkowym składzie kul w urnie (wg kolorów) są jednakowo prawdopodobne?

10. W urnie jest \(\displaystyle{ 12}\) kul zielonych. Ile kul czerwonych trzeba dorzucić, aby prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej było równe \(\displaystyle{ 0,4}\)?


ZADANIA RÓŻNE

1. Zdarzenia losowe \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ A_2}\) wykluczają się i dają łącznie zdarzenie pewne. Wiadomo, że B jest zdarzeniem losowym spełniającym warunki: \(\displaystyle{ P(B) = \frac{5}{16}}\), \(\displaystyle{ P(B|A_1) = \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ P(B|A2) = \frac{1}{4}}\). Wówczas zawsze:
a) \(\displaystyle{ P(A_2 \cdot B) = 0,125}\)
b) \(\displaystyle{ P(A_1|B) = 0,8}\)
c) \(\displaystyle{ P(A_1) = \frac{3}{4}}\)

2. Gołąb pocztowy dociera do adresata z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Ile gołębi należy wysłać, by prawdopodobieństwo przekazania korespondencji było większe niż \(\displaystyle{ \frac{63}{64}}\)?

3. Sprawdzić czy zdarzenia: A - polegające na tym, że liczba naturalna jest podzielna przez 2 i B - polegające na tym, że liczba naturalna jest podzielna przez 3 są niezależne.

4. Obliczyć \(\displaystyle{ p=P(A)=P(B)=P(C)}\), jeżeli zdarzenia A,B,C są niezależne, a ich suma jest zdarzeniem pewnym.

5. Losujemy dwie liczby z odcinka [0..1] z rozkładu jednostajnego. Jakie jest:
A: prawdopodobieństwo, że mniejsza z nich jest mniejsza od \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\);
B: wartość oczekiwana mniejszej z nich.

6. Prawdopodobieństwo, że w sobotę będzie padał deszcz wynosi 50%, prawdopodobieństwo, że w niedzielę będzie padał deszcz także wynosi 50%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w weekend będzie padało?

7. Losujemy liczbę \(\displaystyle{ k}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,...,n\}}\), a następnie liczbę \(\displaystyle{ l}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,...,k\}}\). Niech \(\displaystyle{ E(n)}\) będzie wartością oczekiwaną liczby \(\displaystyle{ l}\). Czy wtedy
a) \(\displaystyle{ E(2) =\frac{3}{2}}\);
b) \(\displaystyle{ E(5) = 2}\);
c) \(\displaystyle{ E(4) = \frac{7}{4}}\);
d) \(\displaystyle{ E(3) = 2}\)?

8. W urnie znajdują się cztery kartki, na których są napisane cyfry od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 4}\). Losujemy kolejno po jednej kartce. Jakie jest prawdopodobieństwo, że cyfry pojawia się:
a) w kolejności rosnącej;
b) w kolejności rosnącej lub malejącej?

9. Na pewien egzamin przygotowano zestaw \(\displaystyle{ 60}\) pytań. Każdy ze zdających wyciąga trzy pytania. Za trzy, dwie lub jedną poprawną odpowiedź otrzymuje odpowiednio ocenę bardzo dobrą, dobrą lub dostateczną. Jacek zna odpowiedź na \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) pytań z zestawu. Jaka jest szansa, że otrzyma z egzaminu ocenę co najmniej dostateczną?

10. Windą ,zatrzymującą się na sześciu piętrach jadą cztery osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że każda osoba wysiądzie na innym piętrze?

11. Sklep jest zaopatrywany w żarówki pochodzące z trzech fabryk, przy czym \(\displaystyle{ 20\%}\) żarówek pochodzi z fabryki \(\displaystyle{ F_1}\), \(\displaystyle{ 30\%}\) z fabryki \(\displaystyle{ F_2}\) i \(\displaystyle{ 50\%}\) z fabryki \(\displaystyle{ F_3}\). Produkcja fabryki \(\displaystyle{ F_1}\) zawiera \(\displaystyle{ 1\%}\) żarówek wadliwych, produkcja fabryki \(\displaystyle{ F_2}\)\(\displaystyle{ 5\%}\) żarówek wadliwych, produkcja fabryki \(\displaystyle{ F_3}\)\(\displaystyle{ 10\%}\) żarówek wadliwych.
a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana losowo w sklepie żarówka będzie wadliwa?
b. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana wadliwa żarówka pochodzi z \(\displaystyle{ F_2}\)?

12. Zadanie S. N. Bernsteina. Przypuśćmy, że w urnie znajdują się kule ponumerowane liczbami 112,121,211,222. Z urny wyciągamy w sposób losowy jedną kulę. Oznaczamy przez \(\displaystyle{ A_i}\) (\(\displaystyle{ i = 1,\ 2,\ 3}\)) zdarzenie polegające na tym, że w numerze wyciągniętej kuli cyfra 1 znajduje się na i -tym miejscu licząc od lewej strony. Wykazać, że zdarzenia \(\displaystyle{ A_1,\ A_2,\ A_3}\) są parami niezależne, natomiast nie są niezależne łącznie.

13. Trzy jaja: kurze, kacze i gęsie należy pomalować różnymi kolorami wybranymi spośród \(\displaystyle{ 6}\). Oblicz prawdopodobieństwo, że jajko kurze będzie żółte lub czerwone, a jajko kacze będzie niebieskie lub zielone.

14. Ze słowa TRAKTRYSA wybieramy losowo dwie litery. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będą to:
a) litery różne;
b) litera T i A;
c) obie samogłoski;
d) obie litery A?

15. Prawdopodobieństwo wylęgnięcia się kurczaka z zapłodnionego jaja wynosi \(\displaystyle{ \frac{11}{12}}\). Z \(\displaystyle{ 12}\) jaj, z których \(\displaystyle{ 4}\) są zapłodnione, a \(\displaystyle{ 8}\) nie zapłodnione wybieramy losowo do inkubacji \(\displaystyle{ 3}\) jaja. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylegnie się choćby jeden kurczak?

16. Kawałek drutu o długości \(\displaystyle{ 20\ cm}\) zgięto pod kątem prostym w przypadkowo wziętym punkcie. Następnie zgięto drut jeszcze w dwóch punktach, tak aby utworzyła się ramka prostokątna o obwodzie \(\displaystyle{ 20\ cm}\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że pole obszaru ograniczonego ramka nie przekracza \(\displaystyle{ 21\ cm^2}\)?

17. Oblicz \(\displaystyle{ P(A)}\), jeśli \(\displaystyle{ P(B)=2P(B')}\), \(\displaystyle{ P(A|B)=\frac{1}{5}}\) oraz \(\displaystyle{ P(A|B')=\frac{3}{5}}\).

18. Wiadomo, że \(\displaystyle{ 64\%}\) bliźniąt to bliźniaki tej samej płci. Znajdź prawdopodobieństwo, że drugi z bliźniąt jest chłopcem, pod warunkiem, że pierwsze jest chłopcem. Prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca wynosi \(\displaystyle{ 0,51}\)

19. Udowodnij, że jeżeli zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niezależne, to \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ B'}\) są niezależne?

20. Student zna odpowiedź na \(\displaystyle{ 6}\) spośród \(\displaystyle{ 15}\) pytań. Na egzaminie losuje \(\displaystyle{ 4}\) pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zna odpowiedź na co najmniej jedno z nich?

21. W poniższej grze wygrana przysługuje każdemu graczowi, który wylosuje dwie kule zielone. Zasady gry: gracz rzuca trzykrotnie symetryczną monetą. Jeżeli moneta upadnie trzykrotnie na tę samą stronę, to gracz uruchamia maszynę losującą \(\displaystyle{ M_1}\); w przeciwnym wypadku gracz uruchamia maszynę losującą \(\displaystyle{ M_2}\). Każda z maszyn losuje na raz dwie kule. W maszynie \(\displaystyle{ M_1}\) jest \(\displaystyle{ 10}\) kul zielonych i \(\displaystyle{ 5}\) czarnych; w maszynie \(\displaystyle{ M_2}\)\(\displaystyle{ 2}\) kule zielone i \(\displaystyle{ 13}\) czarnych.
Oblicz prawdopodobieństwo wygranej tj. prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul zielonych; wynik podaj w ułamku zwykłym.

22. Student i studentka umawiają się na spotkanie miedzy 20:00 a 21:00 momenty przybycia obu osób są przypadkowe i niezależne od siebie. Każda z nich czeka 15 minut i odchodzi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają?

23. Ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,\ 2,\ 3,...,\ 2005\}}\) losujemy kolejno bez zwracania 5 liczb, tworząc z nich w kolejności losowania ciąg. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest to ciąg rosnący.

24. W szufladzie jest 15 kartek ponumerowanych liczbami od 1 do 15. Losujemy kolejno 5 kartek bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że numer trzeciej z wylosowanych kartek jest liczbą podzielną przez 3 i jednocześnie numer piątej jest liczbą podzielną przez 5.

25. Z odcinków o długościach 1,3,5,6,7,9 wybieramy losowo trzy. Oblicz prawdopodobieństwo, że z wybranych odcinków można zbudować trójkąt.

26. W pierwszej loterii jest n (n>2) losów, w tym jeden los wygrywający. W drugiej loterii jest 2n losów, w tym dwa wygrywające. W której loterii należy kupić dwa losy, aby mieć większą szansę wygranej?
Ostatnio zmieniony 18 paź 2007, o 19:30 przez Arbooz, łącznie zmieniany 5 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Zablokowany