Zbiór zadań - PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
Arbooz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 357
Rejestracja: 13 gru 2004, o 20:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białogard/Warszawa

Zbiór zadań - PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Post autor: Arbooz » 16 maja 2005, o 17:36

ZBIÓR ZADAŃ ROZWIĄZANYCH NA FORUM - PRAWDOPODOBIEŃSTWO
(po kliknięciu na numer zadania pojawi się wątek z rozwiązaniem)
KOSTKI 1. Rzucono 10 razy kostką do gry, otrzymując trzykrotnie szóstkę. Ile wynosi prawdopodobieństwo tego, że w ostatnim rzucie wypadło sześć oczek? 2. Rzucamy 3 razy dwiema kostkami symetrycznymi do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo, że co najmniej dwa razy suma wyrzuconych oczek będzie większa od 9. 3. Wyznacz liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu losowemu \(A \cup B\), gdzie A i B są następującymi zdarzeniami: A - w dwukrotnym rzucie sześcienną kostką za pierwszym razem wypadła parzysta liczba oczek; B - w dwukrotnym rzucie sześcienną kostką za drugim razem wypadła parzysta liczba oczek. 4. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie trzema symetrycznymi kostkami. Opisz zbiór "omega". Określ prawdopodobieństwo następujących zdarzeń: a) na każdej kostce wypadła inna liczba oczek; b) suma wyrzuconych oczek wynosi 6; c) dwa oczka wypadły co najmniej raz. 5. Rzucamy dwukrotnie kostką. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A - suma oczek jakie wpadną w obydwu rzutach jest równa co najmniej \(4\); B - iloczyn oczek jakie wypadną w obydwu rzutach jest mniejszy od \(25\). 6. Rzucamy trzy razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że najmniejszą wyrzuconą liczbą oczek jest 3. 7. Rzucamy \(7\) razy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej dwa razy \(6\) oczek. MONETY 1. Rzucamy \(4\) razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że \(3\) razy wypadnie orzeł. 2. Rzucamy \(100\) razy monetą. Oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie reszka. 3. Zdarzenie A polega na otrzymaniu co najmniej dwóch reszek w dziesięciu rzutach symetryczną monetą. Na czym polega zdarzenie przeciwne do zdarzenia A? Wyznacz liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A oraz zdarzeń sprzyjających zdarzeniu przeciwnemu do A. 4. Dokonujemy trzech rzutów monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) orzeł pojawi się 2 razy b) orzeł pojawi się co najwyżej 2 razy c) orzeł pojawi się co najmniej 2 razy. 5. Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucenie \(2\) orłów w rzucie \(4\) monetami czy wyrzucenie \(3\) orłów w rzucie \(6\) monet? KULE I URNY 1. W pudelku jest \(5\) kul białych i \(7\) czarnych, wyciągamy losowo \(2\) kule. Oblicz prawdopodobieństwo następujących zdarzeń: a) wyciągnięto \(2\) kule białe; b) wyciągnięto \(2\) kule tego samego koloru; c) wyciągnięto \(2\) kule różnokolorowe. 2. W urnie są \(4\) kule białe i \(2\) czarne. Losujemy jedną kulę i bez sprawdzania jej koloru, wkładamy do urny z \(3\) kulami białymi i \(5\) czarnymi. Oblicz prawdopodobieństwo, że kula wylosowana z drugiej urny jest czarna. 3. W urnie \(U_1\) jest \(6\) kul czarnych i \(4\) białe, a w urnie \(U_2\) jest \(m\) kul czarnych i \(2\) białe. Z każdej urny losujemy jedną kulę i wkładamy do pustej urny \(U_3\). Następnie z urny \(U_3\)losujemy jedną kulę. Oblicz, ile musi być kul czarnych w urnie\(U_2\), aby prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej z urny \(U_3\) było większe od \(0,7\). 4. W trzech urnach znajdują się kule białe i czarne, przy czym w każdej z nich jest tyle samo kul białych co czarnych. Z każdej urny losujemy jedną kulę i, nie oglądając jej, wrzucamy do czwartej (początkowo pustej) urny. Następnie z czwartej urny losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z czwartej urny. 5. W urnie są \(2\) kule białe, \(4\) czarne i \(5\) zielonych. Losujemy ze zwracaniem \(3\) kule. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych kul: a) nie będzie kuli czarnej b) będzie przynajmniej jedna kula czarna c) będzie kula czarna i zielona d) będą kule biała i czarna 6. W urnie mamy \(3\) białe kule i \(8\) czarnych. Losujemy \(5\) razy po jednej kuli, zwracając za każdym razem kule do urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy \(3\) razy kulę białą? 7. W urnie znajduje się \(25\) kul: \(10\) kul białych, \(9\) czarnych, \(6\) zielonych. Wyjęto losowo jedną kulę i, nie oglądając jej, odłożono na bok. Oblicz prawdopodobieństwo, że za drugim razem wylosowano kule białą. 8. W urnie jest \(10\) zielonych i \(8\) żółtych kul. Na ile sposobów możemy losowo wyjąć \(5\) kul w tym: a) \(3\) zielone i \(2\) żółte; b) co najmniej \(4\) żółte? 9. Do urny zawierającej \(3\) kule wrzucono \(1\) kulę białą, a następnie wylosowano jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowano kulę białą, jeśli wszelkie możliwe przypuszczenia o początkowym składzie kul w urnie (wg kolorów) są jednakowo prawdopodobne? 10. W urnie jest \(12\) kul zielonych. Ile kul czerwonych trzeba dorzucić, aby prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej było równe \(0,4\)? ZADANIA RÓŻNE 1. Zdarzenia losowe \(A_1\) i \(A_2\) wykluczają się i dają łącznie zdarzenie pewne. Wiadomo, że B jest zdarzeniem losowym spełniającym warunki: \(P(B) = \frac{5}{16}\), \(P(B|A_1) = \frac{1}{3}\) i \(P(B|A2) = \frac{1}{4}\). Wówczas zawsze: a) \(P(A_2 \cdot B) = 0,125\) b) \(P(A_1|B) = 0,8\) c) \(P(A_1) = \frac{3}{4}\) 2. Gołąb pocztowy dociera do adresata z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{2}\). Ile gołębi należy wysłać, by prawdopodobieństwo przekazania korespondencji było większe niż \(\frac{63}{64}\)? 3. Sprawdzić czy zdarzenia: A - polegające na tym, że liczba naturalna jest podzielna przez 2 i B - polegające na tym, że liczba naturalna jest podzielna przez 3 są niezależne. 4. Obliczyć \(p=P(A)=P(B)=P(C)\), jeżeli zdarzenia A,B,C są niezależne, a ich suma jest zdarzeniem pewnym. 5. Losujemy dwie liczby z odcinka [0..1] z rozkładu jednostajnego. Jakie jest: A: prawdopodobieństwo, że mniejsza z nich jest mniejsza od \(\frac{1}{10}\); B: wartość oczekiwana mniejszej z nich. 6. Prawdopodobieństwo, że w sobotę będzie padał deszcz wynosi 50%, prawdopodobieństwo, że w niedzielę będzie padał deszcz także wynosi 50%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w weekend będzie padało? 7. Losujemy liczbę \(k\) ze zbioru \(\{1,2,...,n\}\), a następnie liczbę \(l\) ze zbioru \(\{1,2,...,k\}\). Niech \(E(n)\) będzie wartością oczekiwaną liczby \(l\). Czy wtedy a) \(E(2) =\frac{3}{2}\); b) \(E(5) = 2\); c) \(E(4) = \frac{7}{4}\); d) \(E(3) = 2\)? 8. W urnie znajdują się cztery kartki, na których są napisane cyfry od \(1\) do \(4\). Losujemy kolejno po jednej kartce. Jakie jest prawdopodobieństwo, że cyfry pojawia się: a) w kolejności rosnącej; b) w kolejności rosnącej lub malejącej? 9. Na pewien egzamin przygotowano zestaw \(60\) pytań. Każdy ze zdających wyciąga trzy pytania. Za trzy, dwie lub jedną poprawną odpowiedź otrzymuje odpowiednio ocenę bardzo dobrą, dobrą lub dostateczną. Jacek zna odpowiedź na \(\frac{2}{3}\) pytań z zestawu. Jaka jest szansa, że otrzyma z egzaminu ocenę co najmniej dostateczną? 10. Windą ,zatrzymującą się na sześciu piętrach jadą cztery osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że każda osoba wysiądzie na innym piętrze? 11. Sklep jest zaopatrywany w żarówki pochodzące z trzech fabryk, przy czym \(20\%\) żarówek pochodzi z fabryki \(F_1\), \(30\%\) z fabryki \(F_2\) i \(50\%\) z fabryki \(F_3\). Produkcja fabryki \(F_1\) zawiera \(1\%\) żarówek wadliwych, produkcja fabryki \(F_2\)\(5\%\) żarówek wadliwych, produkcja fabryki \(F_3\)\(10\%\) żarówek wadliwych. a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana losowo w sklepie żarówka będzie wadliwa? b. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana wadliwa żarówka pochodzi z \(F_2\)? 12. Zadanie S. N. Bernsteina. Przypuśćmy, że w urnie znajdują się kule ponumerowane liczbami 112,121,211,222. Z urny wyciągamy w sposób losowy jedną kulę. Oznaczamy przez \(A_i\) (\(i = 1,\ 2,\ 3\)) zdarzenie polegające na tym, że w numerze wyciągniętej kuli cyfra 1 znajduje się na i -tym miejscu licząc od lewej strony. Wykazać, że zdarzenia \(A_1,\ A_2,\ A_3\) są parami niezależne, natomiast nie są niezależne łącznie. 13. Trzy jaja: kurze, kacze i gęsie należy pomalować różnymi kolorami wybranymi spośród \(6\). Oblicz prawdopodobieństwo, że jajko kurze będzie żółte lub czerwone, a jajko kacze będzie niebieskie lub zielone. 14. Ze słowa TRAKTRYSA wybieramy losowo dwie litery. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będą to: a) litery różne; b) litera T i A; c) obie samogłoski; d) obie litery A? 15. Prawdopodobieństwo wylęgnięcia się kurczaka z zapłodnionego jaja wynosi \(\frac{11}{12}\). Z \(12\) jaj, z których \(4\) są zapłodnione, a \(8\) nie zapłodnione wybieramy losowo do inkubacji \(3\) jaja. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylegnie się choćby jeden kurczak? 16. Kawałek drutu o długości \(20\ cm\) zgięto pod kątem prostym w przypadkowo wziętym punkcie. Następnie zgięto drut jeszcze w dwóch punktach, tak aby utworzyła się ramka prostokątna o obwodzie \(20\ cm\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że pole obszaru ograniczonego ramka nie przekracza \(21\ cm^2\)? 17. Oblicz \(P(A)\), jeśli \(P(B)=2P(B')\), \(P(A|B)=\frac{1}{5}\) oraz \(P(A|B')=\frac{3}{5}\). 18. Wiadomo, że \(64\%\) bliźniąt to bliźniaki tej samej płci. Znajdź prawdopodobieństwo, że drugi z bliźniąt jest chłopcem, pod warunkiem, że pierwsze jest chłopcem. Prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca wynosi \(0,51\) 19. Udowodnij, że jeżeli zdarzenia \(A\) i \(B\) są niezależne, to \(A'\) i \(B'\) są niezależne? 20. Student zna odpowiedź na \(6\) spośród \(15\) pytań. Na egzaminie losuje \(4\) pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zna odpowiedź na co najmniej jedno z nich? 21. W poniższej grze wygrana przysługuje każdemu graczowi, który wylosuje dwie kule zielone. Zasady gry: gracz rzuca trzykrotnie symetryczną monetą. Jeżeli moneta upadnie trzykrotnie na tę samą stronę, to gracz uruchamia maszynę losującą \(M_1\); w przeciwnym wypadku gracz uruchamia maszynę losującą \(M_2\). Każda z maszyn losuje na raz dwie kule. W maszynie \(M_1\) jest \(10\) kul zielonych i \(5\) czarnych; w maszynie \(M_2\)\(2\) kule zielone i \(13\) czarnych. Oblicz prawdopodobieństwo wygranej tj. prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul zielonych; wynik podaj w ułamku zwykłym. 22. Student i studentka umawiają się na spotkanie miedzy 20:00 a 21:00 momenty przybycia obu osób są przypadkowe i niezależne od siebie. Każda z nich czeka 15 minut i odchodzi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają? 23. Ze zbioru \(\{1,\ 2,\ 3,...,\ 2005\}\) losujemy kolejno bez zwracania 5 liczb, tworząc z nich w kolejności losowania ciąg. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest to ciąg rosnący. 24. W szufladzie jest 15 kartek ponumerowanych liczbami od 1 do 15. Losujemy kolejno 5 kartek bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że numer trzeciej z wylosowanych kartek jest liczbą podzielną przez 3 i jednocześnie numer piątej jest liczbą podzielną przez 5. 25. Z odcinków o długościach 1,3,5,6,7,9 wybieramy losowo trzy. Oblicz prawdopodobieństwo, że z wybranych odcinków można zbudować trójkąt. 26. W pierwszej loterii jest n (n>2) losów, w tym jeden los wygrywający. W drugiej loterii jest 2n losów, w tym dwa wygrywające. W której loterii należy kupić dwa losy, aby mieć większą szansę wygranej?
Ostatnio zmieniony 18 paź 2007, o 19:30 przez Arbooz, łącznie zmieniany 5 razy.

Zablokowany