Wartość oczekiwana rozkładu dwumianowego

[przemszy]

Witam! Mam problem z wyprowadzeniem wzoru na wartość oczekiwaną rozkładu dwumianowego. Zrobiłem jak na razie tyle i nie wiem jak to dalej ruszyć. Ma ktoś jakiś pomysł?

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\sum_{k=0}^n x_k\mathbb{P}(X=x_k) = \sum_{k=0}^n k {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}=}\)

\(\displaystyle{ =\sum_{k=1}^n k\cdot\frac{n!}{k!(n-k)!} p^k(1-p)^{n-k}=\sum_{k=1}^n
\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}=}\)

\(\displaystyle{ =np\sum_{k=1}^n\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1-(k-1))!}
p^{k-1}(1-p)^{n-1-(k-1)}=}\)

Wiem, że wynik to \(\displaystyle{ np}\), więc trzeba pokazać, że ta suma wynosi 1. Tyle, że nie mam pomysłu.

[Janek Kos]

Skorzystał bym z tego, ze rozkład dwumianowy jest sumą rozkładów zero-jedynkowych i wtedy jest łatwiej ale można i tak:
\(\displaystyle{ ...=np \sum_{k=1}^{n}\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{n-k}=\\np \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(k)!(n-1-k)!}p^{k}(1-p)^{n-1-k}=np(p+(1-p))^{n-1}}\)

[przemszy]

Możesz jeszcze powiedzieć dokładnie jak przekłada się to, że rozkład dwumianowy składa się z rozkładów zero-jedynkowych na ten wzór, który się pojawił?

[Janek Kos]

Korzystając z faktu, że zm. losowa o rozkład dwum. jest sumą niezależnych zmiennych los. o rozkładzie 0-1, można skorzystać z faktu, że wartość oczekiwana sumy jest sumą wartości oczekiwanych. To miałem na myśli, pisząc, że jest łatwiej. Ty zrobiłeś, to z definicji wart. oczekiwanej a ja, żeby dokończyć, skorzystałem tylko ze wzoru:
\(\displaystyle{ (a+b)^n= \sum_{k=0}^{n} a^{n-k}b^k}\).

[przemszy]

Dzięki, wszystko już jasne