Warunkowa wartość oczekiwana, rozkłady wykładnicze

[Emiel Regis]

Zmienne \(\displaystyle{ X_1,X_2,X_3}\) są niezależne o tych samych rozkładach wykładniczych \(\displaystyle{ Exp(\lambda)}\). Niech:

\(\displaystyle{ T=X_1+X_2+X_3}\)

\(\displaystyle{ Y= \begin{cases} 1\ gdy\ X_1\geqslant3 \\ 0\ poza\ tym \end{cases}}\)

Obliczyć:
\(\displaystyle{ E(Y|T=5)}\)

[czerwonysmok]

Ktoś może podać jakieś wskazówki do tego zadania?

[lokas]

Zmienne \(\displaystyle{ X_1,X_2,X_3}\) są niezależne o tych samych rozkładach wykładniczych \(\displaystyle{ Exp(\lambda)}\)
\(\displaystyle{ T=X_1+X_2+X_3}\)
\(\displaystyle{ T}\) jest zmienną ciągłą, bo wszystkie składniki są ciągłe, zatem
\(\displaystyle{ P(T=5)}\) wyniesie zero

[Zordon]

Zmienne \(\displaystyle{ X_1,X_2,X_3}\) są niezależne o tych samych rozkładach wykładniczych \(\displaystyle{ Exp(\lambda)}\)
\(\displaystyle{ T=X_1+X_2+X_3}\)
\(\displaystyle{ T}\) jest zmienną ciągłą, bo wszystkie składniki są ciągłe, zatem
\(\displaystyle{ P(T=5)}\) wyniesie zero

Polecam zaznajomić się z pojęciem warunkowej wartości oczekiwanej.

[mm34639]

Nie bardzo mam czas liczyć to teraz samemu, ale widzę to tak



cały trójkąt to zbiór, gdzie \(\displaystyle{ X_1+X_2+X_3=5}\), a na szaro jest jego część, na której \(\displaystyle{ X_1 \geq 3}\)

Prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ X_1 \geq 3}\) pod warunkiem że suma=5 to będzie chyba całka z łącznej gęstości zmiennych \(\displaystyle{ X_i}\) po obszarze szarym, podzielić przez całkę z łącznej gęstości po całym dużym trójkącie. Trzeba tylko podobierać granice całkowania.


Gęstość łączna \(\displaystyle{ f(x_1,x_2,x_3)=\lambda^3 e^{-\lambda(x_1+x_2+x_3)}}\)

Na przykład, całka po całym trójkącie to będzie \(\displaystyle{ \int_{0}^{5}\int_{0}^{5-x_2} f(x_1,x_2,5-x_1-x_2)dx_1dx_2}\)
Dwie zmienne, podwójna całka, więc dostajemy liczbę jako wynik.
Zostaje sparametryzować to szare, i policzyć dwie całki (tę co napisałem i tę po szarym)
Wg mojej intuicji tak to powinno być, ale nic nie gwarantuję

-- 19 lutego 2013, 21:14 --

teraz jak na to patrzę, to ta gęstość wychodzi stała, więc prawdopodobieństwo, to chyba pole szarego / pole zielonego co czyni zadanie banalnym

na szybko wyszło 0,16-- 19 lutego 2013, 21:18 --tzn. stała jest akurat na tym trójkącie