1.
8 uczniów, wśród których są Ola i Janek ustawiło się w kolejce do sklepu. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, ze Ola i Janek nie stoją obok siebie. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
2.
W pudełku znajduja się żetony. Wśród nich jest 6 żetonów o nominale 5 zł oraz n żetonów o nominale 10 zł. Losujemy z pudełka dwa żetony. Prawdobodobieństwo zdarzenia polegajacego na wylosowaniu obu żetonów o nominale 10 zł jest równe 0,5 . Oblicz n .
"Dwa proste zadania" nie jest odpowiednią nazwą dla tematu
Sylwek
Kolejka do sklepu, pudełko z żetonami
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Kolejka do sklepu, pudełko z żetonami
1) Zdarzenie przeciwne - Ola i Janek stoją koło siebie. Można ich ustawić na \(\displaystyle{ P_{2}=2!=2}\) sposoby. Pozostałych uczniów można ustawić na \(\displaystyle{ P_{6}=6!}\) sposobów. Dodatkowo, nasza para może stać przed wszystkimi uczniami, pomiędzy 1 a 2, itp. - łącznie w 7 miejscach. Łącznie mamy \(\displaystyle{ P_{8}=8!}\) ustawień.
Zatem:
\(\displaystyle{ P(A)=1-\frac{7 P_{2}P_{6}}{P_{8}}=\frac{7 2 6!}{8!}=\frac{1}{4}}\)
2) W pudełku jest \(\displaystyle{ n+6}\) żetonów. Łącznie możemy wylosować \(\displaystyle{ C_{n+6}^2}\) żetonów. Zdarzeń sprzyjających jest \(\displaystyle{ C_{n}^2}\).
Dlatego:
\(\displaystyle{ \frac{C_{n}^2}{C_{n+6}^2}=\frac{1}{2} \\ 2 {n \choose 2}={n+6 \choose 2} \\ 2n(n-1)=(n+6)(n+5) \\ 2n^2-2n=n^2+11n+30 \\ n^2-13n-30=0 \\ (n-15)(n+2)=0 \\ n=15 \ \mbox{- bo musi byc dodatnie}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ P(A)=1-\frac{7 P_{2}P_{6}}{P_{8}}=\frac{7 2 6!}{8!}=\frac{1}{4}}\)
2) W pudełku jest \(\displaystyle{ n+6}\) żetonów. Łącznie możemy wylosować \(\displaystyle{ C_{n+6}^2}\) żetonów. Zdarzeń sprzyjających jest \(\displaystyle{ C_{n}^2}\).
Dlatego:
\(\displaystyle{ \frac{C_{n}^2}{C_{n+6}^2}=\frac{1}{2} \\ 2 {n \choose 2}={n+6 \choose 2} \\ 2n(n-1)=(n+6)(n+5) \\ 2n^2-2n=n^2+11n+30 \\ n^2-13n-30=0 \\ (n-15)(n+2)=0 \\ n=15 \ \mbox{- bo musi byc dodatnie}}\)