Przyjęcie i rozkłady wykładnicze oraz jednostajny

[Emiel Regis]

Na przyjęcie na którym ma być osoba A zaproszono n osób. Przyjęcie rozpoczyna się o godzinie 0. Czasy przybycia zaproszonych gości są niezależnymi zmiennymi wykładniczymi o średnich 1, a czas przybycia osoby A ma rozkład jednostajny na odcinku (0,1). Znaleźć wzór na prawdopodobieństwo tego, że dokładnie k gości przyjdzie przed A, oraz obliczyć wartość oczekiwaną liczby gości, którzy przyjdą przed A.

[Janek Kos]

Myślę, że będzie to wyglądało tak:

Niech \(\displaystyle{ U_i}\) będzie zmienną losową zdefiniowaną następująco:
\(\displaystyle{ U_i= \begin{cases} 1\ \ \ gdy\ gosc\ przyszedl\ przed\ A \\ 0\ \ \ w.p.\ wypadku \end{cases}}\),
wtedy:
\(\displaystyle{ U_i= \begin{cases} 1\ \ \ p=P(Y [-1,0]}\). Stąd \(\displaystyle{ f_X(x)=1\ \ \ dla\ x [-1,0]}\).
Zmienna losowa Z jest splotem zm. los. X i Y. Jej gęstość można więc napisać jako:
\(\displaystyle{ f_Z(z)= \begin{cases} t_{-1}^{z}e^{-(z-x)}dx\ \ \ -1 qslant zt_{-1}^{0}e^{-(z-x)}dx\ \ \ 0 qslant zqslant zqslant zt_{-1}^{0}f_Z(z)dz=e^{-1}}\)
Liczba k przybyłych przed A gości, spośród n zaproszonych ma rozkład Bernoulliego z parametrem p a wartość oczekiwana wynosi np. O ile idea jest dobra, to reszta chyba też:)

[Emiel Regis]

Wznowiłeś we mnie wiare w ludzi, już myslałem ze nikt na forum nie umie rozwiązywać zadań ktore czasami z prawdopodobieństwa wrzucam. A to zadanie nie ukrywam, że sprawiło mi dużo problemów, jak przeczytałem Twoje rozwiazanie to dopiero przyszło mi do głowy alternatywne, nieco krótsze, nie jestem fanem splotu; )
(choć bez splotu zrobiłem to przed chwilą przez zamianę zmiennych, z bólem idzie)

Rozwiązanie alternatywne:
Oznaczenia takie same jak u Ciebie.
Wtedy:
\(\displaystyle{ P(U_i=1|W=w)=\int^w_0e^{-y}dy=1-e^{-w} \\
P(U_i=1)=\int^1_0(1-e^{-w})dw=e^{-1}=p}\)
Czyli nieco krócej to prawdopodobieństwo wyliczyłem. No i dalej to juz tak jak proponowaleś:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^nU_i B(n,p)}\)

Bardzo dziękuje za rozwiązanie! Olbrzymi punkt dla Ciebie.