Zadanko ze zmienną losową
-
Asiuk
- Użytkownik
- Posty: 62
- Rejestracja: 16 paź 2007, o 14:30
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
Zadanko ze zmienną losową
Niech X będzie zmienną losową dwumianową z parametrami n i p. Wyznacz, dla jakiego p przy ustalonych n i k prawdopodobieństwo P(X=k) jest największe.
-
Janek Kos
- Użytkownik
- Posty: 417
- Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 98 razy
Zadanko ze zmienną losową
Zaczniemy od wzoru:
\(\displaystyle{ P(X=k)= p^k(1-p)^{n-k}}\)
\(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ k}\) mamy ustalone, więc interesuje nas maksymalizacja wyrażenia \(\displaystyle{ p^k(1-p)^{n-k}}\)
Zapiszmy to jako funkcję zmiennej p:
\(\displaystyle{ L(p)=p^k(1-p)^{n-k}}\).
Standardowo liczymy pochodną:
\(\displaystyle{ L'(p)=kp^{k-1}(1-p)^{n-k}-p^k(n-k)(1-p)^{n-k-1}}\)
Przyrównujemy do zera i wyciągamy wspólny czynnik przed nawias:
\(\displaystyle{ p^{k-1}(1-p)^{n-k-1}\big(k(1-p)-p(n-k)\big)=0}\)
Rozwiązując to równanie - po odrzuceniu skrajnych wartości p=0 i p=1 - dostajemy \(\displaystyle{ p=\frac{k}{n}}\), w którym - jak łatwo sprawdzić - L(p) ma maksimum.
\(\displaystyle{ P(X=k)= p^k(1-p)^{n-k}}\)
\(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ k}\) mamy ustalone, więc interesuje nas maksymalizacja wyrażenia \(\displaystyle{ p^k(1-p)^{n-k}}\)
Zapiszmy to jako funkcję zmiennej p:
\(\displaystyle{ L(p)=p^k(1-p)^{n-k}}\).
Standardowo liczymy pochodną:
\(\displaystyle{ L'(p)=kp^{k-1}(1-p)^{n-k}-p^k(n-k)(1-p)^{n-k-1}}\)
Przyrównujemy do zera i wyciągamy wspólny czynnik przed nawias:
\(\displaystyle{ p^{k-1}(1-p)^{n-k-1}\big(k(1-p)-p(n-k)\big)=0}\)
Rozwiązując to równanie - po odrzuceniu skrajnych wartości p=0 i p=1 - dostajemy \(\displaystyle{ p=\frac{k}{n}}\), w którym - jak łatwo sprawdzić - L(p) ma maksimum.
Zadanko ze zmienną losową
Czy istnieje rozwiązanie bez użycia pochodnej (tzn. zrozumiałe dla kogoś, którego nauka matematyki nie objęła jeszcze tego działu)? Jeśli tak, byłabym wdzięczna za jakąkolwiek pomoc.