rzucanie 5 kostkami, odpowiednie ułożenie oczek

[sea_of_tears]

Rzucono pięcioma kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania :
a) na wszystkich kostkach takiej samej liczby oczek
b) dokładnie na dwóch kostkach takiej samej liczby oczek (pary)
c) dokładnie na trzech kostkach takiej samej liczby oczek (trójki)
d) trójki i pary

[Sylwek]

Łącznie zdarzeń elementarnych jest \(\displaystyle{ \overline{V_{6}^5}=6^5}\).

a) Mamy 6 zdarzeń sprzyjających (5 jedynek, 5 dwójek, ... )
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{6}{6^5}=\frac{1}{1296}}\)

b) Załóżmy że wypadnie para jedynek i nic więcej. Kostki, na których wypadły jedynki, możemy wybrać na \(\displaystyle{ C_{5}^2=10}\) sposobów. Pozostałe miejsca możemy zapełnić na \(\displaystyle{ V_{5}^3=\frac{5!}{(5-3)!}=60}\) sposobów. Rozpatrywaliśmy sytuację dla pary jedynek - więc wszystko mnożymy razy 6.
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{6 10 60}{6^5}=\frac{10 10}{6^3}=\frac{100}{216}=\frac{25}{54}}\)

c) Załóżmy że wypadnie trójka jedynek i nic więcej. Kostki, na których wypadły jedynki, możemy wybrać na \(\displaystyle{ C_{5}^3=10}\) sposobów. Pozostałe miejsca możemy zapełnić na \(\displaystyle{ V_{5}^2=\frac{5!}{(5-2)!}=20}\) sposobów. Rozpatrywaliśmy sytuację dla trójki jedynek - więc wszystko mnożymy razy 6.
\(\displaystyle{ P(C)=\frac{6 10 20}{6^5}=\frac{10 20}{6^4}=\frac{200}{1296}=\frac{25}{162}}\)

d) Załóżmy, że wypadnie trójka jedynek. To, jakie numery będą na kostkach tworzących parę, możemy wybrać na \(\displaystyle{ 5}\) sposobów. Kostki, na których wypadły jedynki, możemy wybrać na \(\displaystyle{ C_{5}^3=10}\) sposobów (pozostałe się muszą podporządkować ). Rozpatrywaliśmy sytuację dla trójki jedynek - więc wszystko mnożymy razy 6.

\(\displaystyle{ P(D)=\frac{6 5 10}{6^5}=\frac{5 10}{6^4}=\frac{25}{648}}\)