funkcja tworząca zmiennej losowej

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
mks8
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 21 sty 2008, o 02:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

funkcja tworząca zmiennej losowej

Post autor: mks8 »

jak rozwiązać następujące zadanie?

Funkcja \(\displaystyle{ g(s) = \frac{1}{2-s}}\)
jest f. tworzącą pewnej znanej zmiennej losowej.
Jakiej? Obliczyćw artość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej losowej.
Awatar użytkownika
Janek Kos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 417
Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 98 razy

funkcja tworząca zmiennej losowej

Post autor: Janek Kos »

Warto przypomnieć sobie definicje funkcji tworzącej. Zauważyć, że nasze g(s) jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego (sprawdzić wzór na sumę) i "rozwinąć " ten szereg:
\(\displaystyle{ g(s)=\frac{1}{2-s}=\frac{1}{2(1-\frac{s}{2})}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{s}{2}}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2}(\frac{s}{2})^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}}s^n}\). Stąd dostajemy rozkład prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ p_0=\frac{1}{2},\ p_1=\frac{1}{4},\ p_2=\frac{1}{8},\ ...,\ p_n=\frac{1}{2^{n+1}}}\). Z wartością oczekiwaną i wariancją pewnie nie masz problemu.
ODPOWIEDZ