jak rozwiązać następujące zadanie?
Funkcja \(\displaystyle{ g(s) = \frac{1}{2-s}}\)
jest f. tworzącą pewnej znanej zmiennej losowej.
Jakiej? Obliczyćw artość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej losowej.
funkcja tworząca zmiennej losowej
- Janek Kos
- Użytkownik
- Posty: 417
- Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 98 razy
funkcja tworząca zmiennej losowej
Warto przypomnieć sobie definicje funkcji tworzącej. Zauważyć, że nasze g(s) jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego (sprawdzić wzór na sumę) i "rozwinąć " ten szereg:
\(\displaystyle{ g(s)=\frac{1}{2-s}=\frac{1}{2(1-\frac{s}{2})}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{s}{2}}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2}(\frac{s}{2})^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}}s^n}\). Stąd dostajemy rozkład prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ p_0=\frac{1}{2},\ p_1=\frac{1}{4},\ p_2=\frac{1}{8},\ ...,\ p_n=\frac{1}{2^{n+1}}}\). Z wartością oczekiwaną i wariancją pewnie nie masz problemu.
\(\displaystyle{ g(s)=\frac{1}{2-s}=\frac{1}{2(1-\frac{s}{2})}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{s}{2}}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2}(\frac{s}{2})^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}}s^n}\). Stąd dostajemy rozkład prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ p_0=\frac{1}{2},\ p_1=\frac{1}{4},\ p_2=\frac{1}{8},\ ...,\ p_n=\frac{1}{2^{n+1}}}\). Z wartością oczekiwaną i wariancją pewnie nie masz problemu.