Prawdopodobieństwo warunkowe - wylosowanie dwóch kul

[mahila]

Witam, prosiłabym o rozwiązanie i wytłumaczenie tego zadania - najlepiej metodą "łopatologiczną" (zadanie pochodzi z serii "Maturalnie, że zdasz", z.18 str.109)

W poniższej grze wygrana przysługuje każdemu graczowi, który wylosuje dwie zielone kule. Zasady gry: gracz rzuca trzykrotnie symetryczną monetą. Jeżeli moneta upadnie trzykrotnie na tę samą stronę, to gracz uruchamia maszynę losującą M1; w przeciwnym wypadku gracz uruchamia maszynę losującą M2. Każda z maszyn losuje na raz dwie kule. W maszynie M1 jest 10 kul zielonych i 5 czarnych; w maszynie M2 są 2 kule zielone i 13 czarnych. Oblicz prawdopodobieństwo wygranej tj. prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul zielonych; wynik podaj w ułamku zwykłym.

Pozdrawiam

[Arbooz]

Proponuję rozrysować sobie drzewko, w którym pierwszym krokiem będzie rzut monetami a drugim losowanie, żeby to dobrze zobaczyć.
W każdym razie:
Prawdopodobieństwo wylosowania maszyny M1 i M2:
\(\displaystyle{ P_{M1} = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ P_{M2} = \frac{3}{4}}\)
Wynika to z faktu policzenia prawdopodobieństwa wyrzucenia 3 takich samych stron monety (8 możliwych wyników, 2 sprzyjające)

Teraz prawdopodobieństwo wylosowania 2 zielonych kul z maszyny M1:
\(\displaystyle{ P_1 = \frac{10}{15}*\frac{9}{14} = \frac{3}{7}}\)
Teraz prawdopodobieństwo wylosowania 2 zielonych kul z maszyny M2:
\(\displaystyle{ P_2 = \frac{2}{15}*\frac{1}{14} = \frac{1}{105}}\)

Zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi:
\(\displaystyle{ P_{M1}*P_1 + P_{M2}*P_2 = \frac{3}{28} + \frac{1}{140} = \frac{4}{35}}\)

[mahila]

Dziękuję!