Oblicz lim P, Sn

[misiek008]

Witam. Czy mógłby mi ktoś pomóc z tymi zadaniami:

Niech \(\displaystyle{ S _{} n}\) oznacza sumę orłów uzyskanych w trakcie \(\displaystyle{ n}\) rzutów monetą symetryczną. Niech \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) będzie dowolną liczbą.
1) Oblicz:
a) \(\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to } P\left( {\left| {S_n - \frac{n}{2}} \right| \varepsilon n} \right)}\)
b) \(\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to } P\left( {\left| {S_n - \frac{n}{2}} \right| \varepsilon \sqrt n } \right)}\)

2) Wykazać, że:
a) \(\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to } P\left( {\left| {S_n - ft( {n - S_n } \right)} \right| \varepsilon } \right) = 1}\)
b) \(\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to } P\left( {\left| {\frac{{n - S_n }}{{S_n }} - 1} \right| \varepsilon } \right) = 1}\)
Zinterpretuj powyższe wyniki.

Trochę tego nie rozumiem, więc prosiłbym o wytłumaczenie skąd co się wzięło. Będę wdzięczny bo już od 2 dni się nad tymi zadaniami męczę i nic mi nie przychodzi do głowy.

[Emiel Regis]

Kluczowa jest tutaj znajomość twierdzenie de Moivre'a - Laplace'a. To musisz doczytać sobie.
Dla przykładu zrobię Ci jedno zadanie, reszta jest bardzo podobnie.

a)
\(\displaystyle{ ES_n=np=\frac{1}{2}n \\ VarS_n=npq=\frac{1}{4}n}\)
Wtedy standaryzując zmienne otrzymamy:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}P(|S_n-\frac{n}{2}| \geqslant \varepsilon n) =
\lim_{n \to \infty}P(|\frac{S_n-\frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}n}}| \geqslant \frac{\varepsilon n}{\sqrt{\frac{1}{4}n}}) = \\
\lim_{n \to \infty}P(\frac{S_n-\frac{n}{2}}{{\frac{1}{2}\sqrt{n}}} \geqslant \frac{\varepsilon n}{\frac{1}{2}\sqrt{n}} \vee \frac{S_n-\frac{n}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{n}}} \leqslant -\frac{\varepsilon n}{\frac{1}{2}\sqrt{n}}) =
1 - \phi(\frac{\varepsilon n}{\frac{1}{2}\sqrt{n}}) + \phi(-\frac{\varepsilon n}{\frac{1}{2}\sqrt{n}}) =
2 - 2 \phi(\frac{\varepsilon n}{\frac{1}{2}\sqrt{n}}) \to 2 - 2\phi(\infty) = 0}\)

[misiek008]

miałbym jeszcze jedną prośbę, jakbyś miał chwilę czasu i jakbyś mógł to wrzuć wyniki jakie mają wyjść w tych zadaniach. Może się zgodzą z moimi jak już te zadania rozwiążę . Dzięki wielkie.

[Emiel Regis]

W podpunkcie b) widzimy że wszystko będzie szło identycznie tylko na końcu zamiast n w liczniku będzie pierwiastek z n.
Dokładnie będzie tak:
\(\displaystyle{ 2 - 2 \phi(\frac{\varepsilon \sqrt{n}}{\frac{1}{2}\sqrt{n}}) \to 2 - 2\phi(2\varepsilon)}\)
No i tu już dokładnego wyniku nie ma... zależnie jaki będzie epsilon to tyle będzie wynosiła dystrybuanta. Zakładając że epsilon jest naprawdę bardzo małą liczbą to będziemy mieli prawie dystrybuantę w zerze która wynosi 1/2. Wtedy ostatecznie prawdopodobieństwo byłoby bliskie 1.

2 zadanie to odp masz, pozostaje tylko udowodnić; )
Powodzenia!