Wartość oczekiwana iloczynu 2 liczb od 1 do n

[peterson506]

Spośród liczb od 1 do n losujemy kolejno ze zwracaniem dwie liczby. Oblicz wartość oczekiwaną iloczynu wylosowanych liczb.
Wychodzi: \(\displaystyle{ \frac{(1+n) ^{2} }{4}}\)

[Qń]

Prawdopodobieństwo wylosowania pary \(\displaystyle{ (k,l)}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\). Jeśli przez \(\displaystyle{ X}\) oznaczymy zmienną losową przypisującą każdemu doświadczeniu iloczyn wylosowanych liczb, to mamy:
\(\displaystyle{ EX = \sum_{k,l=1}^{n} kl \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{n}kl = \\ = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} ft( k \sum_{l=1}^{n}l \right) = \frac{1}{n^2} ft( \sum_{l=1}^{n} l \right) ft( \sum_{k=1}^{n} k \right) = \\ = \frac{1}{n^2} ft( \frac{(n+1)n}{2} \right)^2 = \frac{(n+1)^2}{4}}\)

Pozdrawiam.
Qń.