Funkcja tworząca moment, rozkład normalny

[aMnU]

witam serdecznie

Mam problem z policzeniem ftm. To znaczy wiem, jaki wynik powinienem otrzymać, ale nie potrafię dowieść tego licząc całkę:

\(\displaystyle{ \int_{- }^{ } e ^{xt} \frac{1}{ \sqrt{2\pi} } e ^{ \frac{-x ^{2} }{2} } }\)
nie mogłem znaleźć symbolu liczby "pi"
Czy ktoś mógłby mi pomóc rozpisać to? Będę bardzo wdzięczny!

[jovante]

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}e^{xt}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}+xt}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}+xt-\frac{t^2}{2}+\frac{t^2}{2}}dx=\\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{t^2}{2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{(x-t)^2}{2}}dx=e^{\frac{t^2}{2}}}\)

[Miraculum]

Witam, a jak dalej obliczyć całkę
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{t^2}{2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{(x-t)^2}{2}}dx}\)
by dojśc do wyniku
\(\displaystyle{ e^{\frac{t^2}{2}}}\)

Czy tutaj trzeba zastosować metodę całek podwójnych dla całki niewłaściwej i robić parametryzację?