prawdopodobieństwo całkowite

[LySy007]

Zdarzenia \(\displaystyle{ A_{1}}\), \(\displaystyle{ A_{2}}\), \(\displaystyle{ A_{3}}\) tworzą układ zupełny zdarzeń i \(\displaystyle{ B A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}}\). Oblicz \(\displaystyle{ P(A_{2})}\), wiedząc, że \(\displaystyle{ P(A_{1})=\frac{2}{5}}\), \(\displaystyle{ P(B|A_{1})=\frac{1}{4}}\), \(\displaystyle{ P(B|A_{2})=\frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ P(B|A_{3})=\frac{1}{5}}\), \(\displaystyle{ P(B)=\frac{1}{4}}\).

[andkom]

\(\displaystyle{ P(B)=P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac14=\frac14\cdot\frac25+\frac12P(A_2)+\frac15P(A_3)}\)
Stąd
(1) \(\displaystyle{ \frac12P(A_2)+\frac15P(A_3)=\frac3{20}}\)
Ponadto
\(\displaystyle{ P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)=1}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac25+P(A_2)+P(A_3)=1}\)
czyli
(2) \(\displaystyle{ P(A_2)+P(A_3)=\frac35}\)
Z (1) i (2) wyliczamy (rozwiązując układ równań)
\(\displaystyle{ P(A_2)=\frac1{10}\\
P(A_3)=\frac12}\)

[LySy007]

Już sam to zrobiłem. Ale dzięki za pomoc.